Предположим, что для производства двух видов продукций А и В можно использовать только материал трех сортов. При этом на изготовление единицы изделия виде А расходуется a1 кг материала первого сорта, a2 кг материала второго сорта и a3 кг материала третьего сорта. На изготовление единица изделия вида В расходуется b1 кг материала первого сорта, b2 кг материала второго сорта, b3 кг материала третьего сорта. На складе фабрики имеется всего материала первого сорта с1 кг, материала второго сорта с2 кг, материала третьего сорта с3 кг. От реализации единица готовой продукции вида А фабрика имеет прибыль α руб., а от продукции вида В прибыль составляет β руб.
Определить максимальную прибыль от реализации всей продукции видов А и В. Решить задачу симплекс-методом. Дать геометрическую интерпретацию математической формулировки задачи.
55. a1=19,a2=16, a3=19, b1=26, b2=17, b3=8;
c1=868, c2=638, c3=853, α=5, β=4.
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Пусть x1 – количество продукции вида A; x2 – количество продукции вида B. Тогда целевая функция экономико-математической модели, выражающая получаемую прибыль:
Fx=5x1+4x2→max
Перейдем к формулировке ограничений. Неравенства-ограничения на используемое сырье:
19x1+26x2≤86816x1+17x2≤63819x1+8x2≤853.
По смыслу задачи x1≥0; x2≥0.
Окончательно выпишем математическую модель задачи в форме задачи линейного программирования (ЗЛП)
Fx=5x1+4x2→max
19x1+26x2≤86816x1+17x2≤63819x1+8x2≤853. x1≥0; x2≥0.
Решим задачу симплексным методом.
Анализируя каноническую модель задачи, замечаем, что каждая из переменных x3,x4,x5 входит только в одно из уравнений системы, т. е. эти переменные входят в систему ограничений в предпочтительном виде и их можно взять в качестве базисных. Переменные x1,x2 будут свободными.
Составляем первую симплекс-таблицу:
БП 5 4 0 0 0 Bi
x1
x2
x3
x4
x5
x3
19 26 1 0 0 868
x4
16 17 0 1 0 638
x5
19 8 0 0 1 853
F
-5 -4 0 0 0 0
Все элементы столбца свободных членов положительны, поэтому план X10=0;0;868;638;853 является опорным.
Однако этот план не является оптимальным, т
. к. в F-строке имеются отрицательные элементы.
Чтобы получить новый опорный план, более близкий к оптимальному плану, выполним симплексные преобразования первой симплексной таблицы. Наибольший по модулю отрицательный элемент F-строки указывает, что в новый базис следует ввести переменную x1.
Чтобы определить переменную, выводимую из базиса, составим симплексные отношения и выберем наименьшее из них:
min86819;63816;85319=3978
Итак, из базиса исключаем переменную x4. На пересечении разрешающего столбца и строки находится разрешающий элемент 16, с которым и выполняем симплексные преобразования.
Получаем вторую симплексную таблицу:
БП 5 4 0 0 0 Bi
x1
x2
x3
x4
x5
x3
0 93/16 1 -19/16 0 883/8
x1
1 17/16 0 1/16 0 319/8
x5
0 -195/16 0 -19/16 1 763/8
F
0 21/16 0 5/16 0 1595/8
В виду отсутствия в F-строке отрицательных элементов, можно утверждать, что опорный план X*=3198;0;8838;0;7638 оптимальный.
Тогда F=5∙3198+4∙0=15958=19938
Таким образом, X*=3198;0, Fmax=19938
Таким образом, необходимо выпускать 39,875 изделий вида A и 0 изделий вида B
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
