Разработка урока на тему «Введение в симметрические многочлены от двух переменных»

Цели урока:
образовательная: ознакомление школьников с понятиями симметрического многочлена;
развивающая: развитие умения мыслить логически, выделять главное, внимания, памяти, формулировки мысли;
воспитательная: развитие чувства ответственности, самостоятельности.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Используемые технологии обучения:
решение проблемной задачи;
мозговой штурм;
самостоятельная работа.
Оборудование: ПК, мультимедийный проектор, экран.
Ход урока.
I. Организационный момент.
II. Актуализация знаний.
Вспомните, что называется одночленом, двучленом, многочленом, приведите примеры.
Рассмотрите данные примеры:
xy+x+y;2xy+3x+3y;3x2-2y+3y2-2x;5x3+3xy+5y3+10.
Посмотрите внимательно на эти записи, есть ли в них что-то общее? И если есть, то что?
Обратите внимание, если в первом многочлене поменять x и y местами, то ничего не изменится. А что произойдет с остальными многочленами в таком случае?
Такие многочлены называют симметрическими. Попробуйте дать определение симметрического многочлена.
III. Изучение новой темы.
А теперь запишите определение: «Симметрическими называются многочлены, не изменяющиеся от круговой перестановки переменных» [28].
Обозначим многочлен от переменных х и у через Р (х, у). Тогда Р(у, х) означает многочлен, получаемый заменой в Р (х, у) переменной х на у, а у на х. Например, если Px,y=6x4-3x3y-3xy3+6y4, то Py, x=6y4--3y3x-3yx3+6x4.
Закрепим введенные понятия на примерах.
№1. Является ли многочлен Px,y=3x2-2xy+3y2+15 симметричным?
Ответ учащихся: да, является, так как если заменить x на y, а y на x, то смысл выражения не поменяется, т.е.
Px,y=3x2-2xy+3y2+15=3y2-2yx+3x2+15=Py, x.
Таким образом, Px,y=Py, x.
№2. Дан многочлен Px,y=2x3y+x2y+xy2+2xy3. Является ли он симметрическим?
Пример решается аналогично предыдущему.
№3. Проверить, являются ли симметрическими многочлены x+y, xy.
Являются, так как при замене в многочлене x на y, а y на x получается равный ему многочлен [28].
Данные симметрические многочлены называются элементарными

. Введем обозначение x+y=σ1, xy=σ2.
Попробуйте выяснить можно ли любой симметрический многочлен выразить через элементарные симметрические многочлены.
Создается проблемная ситуация.
Задача 1. Представить многочлен Px,y=x2+y2 в виде многочлена от σ1 и σ2.
Решение. Выполним преобразование
x2+y2=x2+2xy+y2-2xy=x+y2-2xy.
Так как x+y=σ1, xy=σ2, то выражение можно переписать в виде
x+y2-2xy=σ12-2σ2.
Задача 2. Представьте в виде многочленов от σ1 и σ2 следующие виды многочленов:
а) x3+y3; б) 2x4-3x3y+5x2y2-3xy3+2y4.
Решение.
а) x3+y3=x + yx2– xy + y2= x + yx + y2– 3xy=
=u(u² – 3v).
б) Сгруппируем симметричные слагаемые:
2x4 – 3х3у + 5х2у2 – 3xy3 + 2y4= =2x4 + 2y4-3х3у + 3ху3+ 5х2у2=
(вынесем за скобки общие множители)
2x4 + y4– 3xyx2 + y2+5х2у2.
Выразим через σ1 и σ2 многочлен x4 + y4= x22+y22==x2+y22– 2x2y2= σ12 – 2σ22–2σ22=σ14-4σ12σ2+4σ22 –2σ2 2=
=σ14 – 4σ12σ2 + 2σ22 .
Тогда 2x4 + y4– 3xyx2 + y2+5х2у2=2σ14–4σ12σ2+2σ22--3vσ12 – 2σ2+5v2=2σ1 4– 8σ12σ2 + 4σ22 – 3σ2σ12+ 6σ22+ 5σ22=
=2σ14– 11σ12σ2 + 15σ2².
Учащиеся делают вывод, что любой симметрический многочлен может быть выражен в виде многочлена от σ1 = x + y и σ2 = xy. Учитель сообщает, что этот факт на самом деле существует, и есть соответствующая теорема, которая доказана математиками [28].
Теорема. Для любого симметрического многочлена Р (х, у) от х и у существует такой многочлен f(σ1, σ2) от σ1 и σ2, что P(x, y)=f(x+y, xy).
Таким образом, любой симметрический многочлен от двух переменных х и у можно выразить относительно σ1= x + y и σ2= xy.
IV. Закрепление изученного материала.
Ученикам даются задания для самостоятельной работы [28].
1. Является ли многочлен P(х, y) симметрическим? Объяснить почему.
а) P(х, y) = 4y² + 3xy + 4x² + 20;
б) P(х, y) = 3x²y + x³y + yx³ + 3xy²