Использование симметрии при решении задач с параметром

y≥x2+2a,x≥y2+2a.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение [12].
Решение. Заметим, что если x0;y0 – решение системы, то и y0;x0 также является решением [38]. Значит, необходимым условием единственности является равенство x=y. Подставив данное равенство в систему, получим
x2=x+2a≤0.
Как мы знаем, что квадратное уравнение имеет единственное решение, когда дискриминант равен нулю: D=1-8a, 1-8a=0, a=18, x=y=0,5.
Теперь проверим достаточность нашего условия. Сложим оба неравенства системы при найденном значении параметра и получим:
x+y≥x2+y2+12→x-122+y-122≤0.
Действительно, последнее неравенство имеет единственное решение: x=y=0,5.
Ответ: a=18.
Пример 2. Найдите все значения параметра a, при которых система
y≥x-a2,x≥y-a2
имеет единственное решение [41].
Решение

. Заметим, что данная система переходит сама в себя при замене x на y, а y на x. Это значит, что система симметрична относительно преобразования x, y→(y, x), которое является отражением координатной плоскости относительно прямой y=x (рис. 16).
Рис. 16.
Получается, что кроме решения x0, y0 система имеет также и решение y0, x0. Следовательно, чтобы система имела единственное решение, необходимо, чтобы выполнялось равенство x0=y0 (т.е. чтобы решением системы служила неподвижная точка преобразования, расположенная на прямой y=x).
Таким образом, учитывая, что y=x, получаем неравенство
x≥x-a2 ↔ x2-2a+1x+a2≤0.
Но так как точка должна быть одна, значит, и решение квадратного уравнения должно быть одно, следовательно, его дискриминант должен быть равен нулю:
D=2a+12-4a2=0 →a=-14.
Но это лишь необходимое условие на параметр