Геометрические модели дуальных чисел

Аннотация. Геометрические модели дуальных чисел представляют практический интерес. Цель статьи заключается в рассмотрении моделей дуальных чисел и их интерпретации; сравнение геометрии Галилея с геометрией плоскости дуальных чисел; вводится понятие аффинных преобразований. В статье также рассматривается геометрия Лобачевского касательно дуальных чисел.
Ключевые слова: дуальные числа, геометрические модели, Галилей, комплексные числа, преобразование
Annotation. Geometric models of dual numbers are of practical interest. The purpose of the article is to consider models of dual numbers and their interpretation; comparing the geometry of Galileo with the geometry of the plane of dual numbers; the concept of affine transformations is introduced. The article also considers Lobachevsky geometry with respect to dual numbers.
Keywords: dual numbers, geometric models, Galileo, complex numbers, transformation
Дуальные числа (или же – гиперкомплексных числа параболического типа) – гиперкомплексные числа вида α+ε*b, где α и b – представляют вещественных числа, а ε – абстрактный элемент, причем квадрат его равен нулю. Следовательно, любое дуальное число может определяться парой чисел α и b [3].
Изучение различных видов комплексных чисел становится популярным в математических дисциплинах. Общие комплексные числа представлены такими система как дуальные числа, двойные числа и обыкновенные комплексные числа [3].
Двойные числа представляют другую систему гиперкомплексных чисел, поэтому они не равнозначны дуальным. Комплексным числом называется z=x+i*y, где x и y - действительные числа, а i – мнимая единица [4].
Модели дуальных чисел входят в семейство моделей гиперкомплексных чисел: комплексные описывают евклидову плоскость, дуальные – геометрию Галилея и Лобачевского, а паракомплексные – используются в геометрии Минковского. Геометрия Минковского рассматривает четырёхмерное псевдоевклидово пространство сигнатуры, которое было предложено в качестве геометрической интерпретации теории «пространства – времени» специальной теории относительности.
Таким образом, можно сделать вывод, что гиперкомплексные числа – расширения вещественных чисел

. Связь с гиперкомплексными числами позволяет решить одну из основных проблем геометрии – простым и доступным образом обобщить понятие угла, введя вместо скалярного произведения, которое связано с симметрической билинейной формой, симметрическую полилинейную форму, состоящую из трех и более векторов [1].
Геометрия Галилея в пространстве трех измерений (x, y, t) изучает те свойства фигур этого пространства, которые могут сохраняться при преобразованиях Галилея. Неевклидова геометрия четырехмерного «пространства-времени» предоставляет возможность описать с помощью геометрии понятия, касающиеся классической механики Ньютона. И, наоборот, геометрия Галилея представляет практический интерес, что все понятия и факты, которые к ней относятся, могут быть истолкованы на языке классический механики («ньютоновская» механика) [1].
Евклидово скалярное произведение позволяет обнаружить евклидовы свойства аффинных линий, псевдоевклидово скалярное произведение векторов – псевдоевклидовы свойства аффинных линий, в галлиевое скалярное произведение выявляет галлиевые свойства линий. Таким образом, то же самое относится к поверхностям и другим объектам, которые изучаются аффинной геометрией [5].
Аффинные преобразования представляют отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые становятся параллельными прямыми при переходе, а пересекающиеся – в пересекающиеся, скрещивающиеся – в скрещивающиеся. Так как любое аффинное преобразование ставит задачу перевести любое направление на плоскости (пучок параллельных прямых), то аффинные преобразования сохраняют заданное направление. В геометрии Галилея играют особую роль параллельные оси Oy, которые отличны от всех остальных прямых [6].
Использование дуальных чисел не относится к области алгебраической части математики