За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака диаметром 2R = 1. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака диаметром 2R = 1

За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака диаметром 2R = 1 .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака диаметром 2R = 1,8 м и высотой H = 2,45 м через отверстие в дне диаметром 2r = 6 см, если ось цилиндра расположена горизонтально, а отверстие находится в самой нижней части цилиндра. Примечание. Принять, что жидкость из сосуда вытекает со скоростью, равной v=0,62gh, где g=10мс2 — ускорение силы тяжести, h — высота уровня воды над отверстием.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Пусть V(t) – объем, h(t) – уровень воды в баке в момент времени t, а s=πr2 – площадь отверстия.
За малый промежуток времени ∆t из бака вытечет vs∆t м3 воды. За это же время бак потеряет такое же количество воды:
∆V=-vs∆t.
Разделив последнее соотношение на ∆t и перейдя к пределу при ∆t → 0 , получим:
V't=-vs=-0,6s2gh. (1)
Выразим h и V через угол φ, как показано на рисунке.
h=R-Rcos φ=R1-cos φ=2Rsin2φ2.
Площадь сегмента ABC равна:
S=R2φ-12R2sin2φ=R2φ-sin2φ2.
Эта формула верна также для φ>90°.
Следовательно, для объема воды в баке получим:
V=HS=HR2φ-sin2φ2.
Найдем производную V't и подставим в уравнение (1):
V't=HR2φ'(t)-cos2φφ'(t)=HR2φ'(t)1-cos2φ=2HR2sin2φφ'(t).
2HR2sin2φφ't=-0,6s2gh=-0,6s2g∙2Rsin2φ2=-1,2sRgsinφ2;
HR2sin2φdφdt=-0,6sRgsinφ2;
HR2sin2φdφ=-0,6sRgsinφ2dt;
dt=-HR2sin2φ0,6sRgsinφ2dφ=-4HR2sin2φ2cos2φ20,6πr2Rgsinφ2dφ=-20HRr23πRg∙sinφ2cos2φ2dφ;
dt=-K∙sinφ2cos2φ2dφ, 2 где:
K=20HRr23πRg=20∙2,45∙0,90,0323π0,9∙10=49∙3029π=4900π≈1560 с=26 (мин.)
В началньный момент бак полный, поэтому φ=π

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу