В задаче даны значения признака Х полученные в результате выборочного обследования совокупности

Число интервалов примем равны к = 8
Величина частичного интервала ∆х составит:
∆х=
xmax - максимальное значение выборки.
xmin - минимальное значение выборки.
Определим границы частичных интервалов [хi; хi+1)
Номер интервала Нижняя граница Верхняя граница
1 [68 71)
2 [71 74)
3 [74 77)
4 [77 80)
5 [80 83)
6 [83 86)
7 [86 89)
8 [89 92]
Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущего и последующего) интервалов.
Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал. Для этого сортируем ряд по возрастанию.
Результаты группировки оформим в виде таблицы интервального статистического ряда:
Интервалы [хi; хi+1) Частота ni
68 – 71 2
71 – 74 2
74 – 77 6
77 – 80 7
80 – 83 10
83 – 86 12
86 – 89 6
89 – 92 5
2) построим гистограмму частот;
3) построим дискретный вариационный ряд, соответствующий данному интервальному
В качестве вариант дискретного ряда примем середины интервалов x
xi
Частота ni
69,5 2
72,5 2
75,5 6
78,5 7
81,5 10
84,5 12
87,5 6
90,5 5
4) найдем эмпирическую функцию распределения по дискретному ряду
Найдем относительные частоты wi=ni/n
xi
Частота ni Относительная частота wi
69,5 2 0,04
72,5 2 0,04
75,5 6 0,12
78,5 7 0,14
81,5 10 0,2
84,5 12 0,24
87,5 6 0,12
90,5 5 0,1
Эмпирическая функция распределения
5) построим график эмпирической функции распределения;
6) Вычислим выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднеквадратическое отклонение;
Построим вспомогательную таблицу для вычисления характеристик выборки:
xi ni
xi*ni
(xi-
69,5 2 139 305,5392
72,5 2 145 175,2192
75,5 6 453 242,6976
78,5 7 549,5 79,0272
81,5 10 815 1,296
84,5 12 1014 83,6352
87,5 6 525 190,8576
90,5 5 452,5 373,248
∑ 50 4093 1451,52
Выборочная средняя
Выборочная дисперсия
Выборочное среднеквадратическое отклонение находим по формуле
7) вычислить теоретические частоты по интервальному вариационному ряду выборки предположив, что случайная величина Х распределена нормально;
Теоретические частоты находятся по формуле
,
Где Ф(z) – значения функции Лапласа
Составляем расчетную таблицу

Ф()
Ф()

68 71 -∞ -2,01 -0,5 -0,4778 0,0222 1,11
71 74 -2,01 -1,46 -0,4778 -0,4279 0,0499 2,495
74 77 -1,46 -0,9 -0,4279 -0,3159 0,112 5,6
77 80 -0,9 -0,35 -0,3159 -0,1368 0,1791 8,955
80 83 -0,35 0,21 -0,1368 0,0832 0,22 11
83 86 0,21 0,77 0,0832 0,2794 0,1962 9,81
86 89 0,77 1,32 0,2794 0,4066 0,1272 6,36
89 92 1,32 +∞ 0,4066 0,5 0,0934 4,67
∑ ∑
Получаем таблицу для эмпирических и теоретических частот
2 2 6 7 10 12 6 5
1,11 2,495 5,6 8,955 11 9,81 6,36 4,67
8) используя критерий Пирсона при уровне значимости проверимть гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х;
Объединяем малочисленные эмпирические (<5) и соответствующие им теоретические частоты
10 7 10 12 6 5
9,205 8,955 11 9,81 6,36 4,67
Вычисляем наблюдаемое значение критерия Пирсона
10 7 10 12 6 5
9,205 8,955 11 9,81 6,36 4,67
0,068661 0,426803 0,090909 0,488899 0,020377 0,023319 =1,147541
По таблице критических точек распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы k=s-3 (s – число интервалов, оставшихся после объединения малочисленных частот) находим критическую точку правосторонней критической области
Так как < , то гипотезу о нормальном распределении исследуемой случайной величины принимаем.
9) найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью
Доверительный интервал для математического ожидания.
Поскольку n>30, то определяем значение tkp по таблицам функции Лапласа.
В этом случае 2Ф(tkp) = γ
Ф(tkp) = γ/2 = 0.99/2 = 0.495
По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) =
0.495
tkp(γ) = 2.58