Стальной стержень длиной L сжимается силой F

Находим размеры поперечного сечения по формуле (1):
𝜎у = F/φ·A ≤ [𝜎у], (1), где φ- коэффициент снижения допускаемого напряжения, А- площадь поперечного сечения стержня.
Предварительно задаёмся φ1 = 0,5 по (1) получаем:
А1 = 240/(0,5·16) = 30 cм2, для кругового сечения:
А1 = π·d2·/4 = π·d2·/4 = 0,785·d2, отсюда находим:
d = √(А1/0,785) = 30/0,785 = 6,18 см.
Определяем гибкость стержня по формуле (2):
λ = μ·L/imin, (2), где минимальный радиус инерции кольцевого сечения равен:
imin = d/4= 6,18/4 = 1,54 см.
λ1 =2·220/(3·1,54) = 95,2, по таблице 5, путем линейного интерполирования, для стали, Ст.3,находим:
λ φ
90 0,69
100 0,60
Δλ = 10 Δφ = 0,09
φ´1 = 0,69 - 0,09·5,2/10 = 0,643, т.к . φ1 значительно отличается от φ1 , делаем 2-ое приближение, принимая:
φ2 = (φ1 + φ´1)/2 = (0,5 + 0,643)/2 = 0,572.
А2 = 240/(0,572·16) = 26,24 cм2,
d = √(А2/0,785) = 26,24/0,785 = 5,78 см.
imin = d/4 = 5,78/4 = 1,44 см.
λ2 = 2·220/(3·1,44) = 101,8, находим по таблице 5,
λ φ
100 0,60
110 0,52
Δλ = 10 Δφ = 0,08
φ´2 = 0,60 - 0,08·1,8/10 = 0,586, делаем 3- е приближение, принимая:
φ3 = (φ2 + φ´2)/2 = (0,572 + 0,586)/2 = 0,58.
А3 = 240/(0,58·16) = 25,86 cм2,
d = √(А3/0,785) = 25,86/0,785 = 5,74 см.
imin = d/4= 5,74/4 = 1,44 см.
λ3 = 2·220/(3·1,44) = 101,9, которая почти не отличается от λ2 = 101,8, следовательно расчет можно закончить, принимая d = 5,8 см = 58 мм.
Площадь сечения равна: A = π·d2/4 = 3,14·5,82/4 = 26,42 см2.
Определяем действительное нормальное напряжение:
𝜎у = F/φ·A = 240/(0,58·26,42) = 15,662 кН/см2 = 156,62 МПа.
Недонапряжение составляет: (160 - 156,62)·100%/160 = 2,1%, что < 5%, допускаемых в технических расчетах
Так как λ = 101,9 > λпред = 100 (для стали Ст.3), то используем формулу Эйлера:
Fкр = (π/μ·l)2·E·Jmin, где Е = 2·105 МПа = 2·104 кН/см2
Jmin = π·d4/64 = 3,14·5,84/64 = 55,55 см4 - минимальный осевой момент инерции круга: Jmin = JХ = JУ.
Fкр = [3,14/(2·220/3)]2·2·104·55,55 = 509,23 кН.
Коэффициент запаса устойчивости равен:
[n]у = Fкр/F = 509,23/240 = 2,12.
Ответ: d = 5,8 см, Fкр = 509,23 кН, [n]у = 2,12.