Решить уравнение колебания струны закрепленной на концах методом Фурье (методом разделения переменных). Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Решить уравнение колебания струны закрепленной на концах методом Фурье (методом разделения переменных)

Решить уравнение колебания струны закрепленной на концах методом Фурье (методом разделения переменных) .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Решить уравнение колебания струны, закрепленной на концах методом Фурье (методом разделения переменных): utt=19uxx,x∈0;3,t∈0;+∞ ux,0=0,utx,0=x3-x,u0,t=u3,t=0

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Согласно методу Фурье решение уравнения будем искать в виде произведения двух функций:
u=ux,t=X(x)T(t)
При этом функция X(x) зависит только от x, а T(t) – только от t.
Подставляем в уравнение:
XxT''t=19X''(x)T(t)
Разделяем переменные:
9T''(t)Tt=X''(x)Xx
Имеем тождественное равенство двух функций, зависящих от разных переменных. Значит, каждая из этих функций есть константа (обозначим λ):
9T''(t)Tt=X''(x)Xx=λ
Данное соотношение равносильно системе уравнений:
X''x-λXx=0T''t-λ9Tt=0
Граничные условия X0Tt=0 и X3Tt=0 дают X0=X3=0, т.е. ищем ненулевые решения уравнения X''x-λXx=0 - обыкновенного линейного дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами . Его характеристическое уравнение:
k2-λ=0
Рассмотрим возможные случаи:
а) λ=0 Xx=c1x+c2
Условия X0=X3=0 дают только тривиальное решение c1=c2=0, т.е. X(x)≡0, поэтому λ=0 отбрасываем.
б) λ>0 Xx=c1eλx+c2e-λx
Пробуем удовлетворить краевым условиям X0=X3=0:
c1+c2=0c1e3λ+c2e-3λ=0
Получаем опять же c1=c2=0, поэтому λ>0 отбрасываем.
в) λ<0 Xx=c1cos-λx+c2sin-λx.
Пробуем удовлетворить краевым условиям X0=X3=0:
c1cos0+c2sin0=0c1cos3-λ+c2sin3-λ=0 c1=0c2sin3-λ=0
Тогда:
c2sin3-λ=0 3-λ=πn λ=-π2n29
Т.е. получили собственные функции вида:
X=cnsinπn3x
Возвращаемся к уравнению T''t-λ9Tt=0

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу