Построим математическую модель задачи. Пусть х1-количество изделий вида А

По смыслу задачи переменные х1 ≥ 0, х2 ≥0.
Конечную цель решаемой задачи – получение максимальной прибыли при реализации продукции – выразим как функцию двух переменных х1 и х2.
Суммарная прибыль: F = 4х1 +3х 2. →max.
Решим задачу симплекс методом
Избавимся от неравенств в ограничениях, введя балансовые переменные:
3x1+9х2+х3=6484x1+2х2+х4=3522x1+2x2+х5=208
В полученной системе ограничений базисными переменными являются x4, x5, x3.
Формируем начальную симплекс-таблицу:
Базисные переменные х1 х2 х3 х4 х5 Свободные члены
Х3 3 3 1 0 0 648
Х4 4 1 0 1 0 352
Х5 2 7 0 0 1 208
F -4 -3
За ведущий выберем столбец 1, так как -4 наименьший элемент в F строке. За ведущую выберем строку 2, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для второй строки является наименьшим.
Базисные переменные х1 х2 х3 х4 х5 Свободные члены отношение
Х3 3 3 1 0 0 648 216
Х4 4 1 0 1 0 352 88
Х5 2 7 0 0 1 208 104
F -4 -3
Элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент и записываем в соответствующей по номеру строке новой таблицы: , при i = r.Все остальные элементы новой таблицы рассчитываем по формулам:
,при i ≠ r
где - элемент новой симплекс-таблицы, aij, - элемент предыдущей симплекс-таблицы, ark - разрешающий элемент , aik - элемент разрешающего столбца, arj - элемент разрешающей строки.
Базисные переменные х1 х2 х3 х4 х5 Свободные члены отношение
Х3 0 15/2 1 -3/4 0 384 256/5
Х1 1 1/5 0 ¼ 0 88 176
Х5 0 1 0 -1/2 1 32 32
F 0 -1 0 1 0 352
В строке F есть отрицательный элемент, значит, полученный план не оптимален. За ведущий выберем столбец 2, так как -1 наименьший элемент в F строке. За ведущую выберем строку 3, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для третьей строки является наименьшим
Базисные переменные х1 х2 х3 х4 х5 Свободные члены
Х3 0 0 1 3 -15/2 144
Х1 1 0 0 1/2 -1/2 72
Х2 0 1 0 -1/2 1 32
F 0 0 0 1/2 1 384
В строке F нет отрицательных элементов, значит, полученный план оптимален.
Оптимальный план:
x1=72 x2=32
F=384
В оптимальный план вошла дополнительная переменная x3 . Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы первого сорта в количестве 144 ед.
Двойственная задача линейного программирования будет иметь вид:
F(Y)=648Y1+352Y2+208Y3 (min)
Ограничения:
3Y1 + 4Y2 + 2Y3
≥ 4
9Y1 + 2Y2 + 2Y3
≥ 3
Y1 ≥ 0
Y2 ≥ 0
Y3 ≥ 0
В исходной задаче x1>0, х2>0. Следовательно, в двойственной задаче оба ограничения должны выполняться как равенства на оптимальном плане.
3y1+4y2+2y3=49y1+2y2+2y3=3
В исходной задаче на плане xопт равенствами являются 3-е и 2-е ограничения. Следовательно, y3>0, y2>0, а y1=0.
Решаем систему:
4y2+2y3=42y2+2y3=3
∆=4222=4, ∆1=4232=2, ∆2=4423=4.
y2=0,5, y3=1.
Таким образом, yопт=(0,0,5,1)T, φmin=648*0+352*0,5+208*1=384
Экономический смысл всех переменных, участвующих в решении. 
План производства Остатки ресурсов, единиц
x1=72 x2=32 x3=144 x4=0 x5=0
↨ ↨ ↨ ↨ ↨
y4=0 y5=0 y1=0 y2=1/2 y3=1
Превышение затрат на ресурсы над ценой реализации (возможный убыток от производства продукции) Объективно обусловленные оценки ресурсов (теневые, условные, скрытые цены ресурсов)
Определение дефицитных и недефицитных (избыточных) ресурсов. Вторая теорема двойственности. Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели: 3*72 + 9*32 = 504 < 648 4*72 + 2*32 = 352 = 352 2*72 + 2*32 = 208 = 208 1-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 1-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y1 = 0. Неиспользованный экономический резерв ресурса 1 составляет 144 (648-504). Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду). 2-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-й ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y2 ≠ 0). 3-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство