Определите область (круг) сходимости данного комплексного ряда

Применим признак Даламбера:
cn=z-2+in2nn2+1; cn+1=z-2+in+12n+1n2+2n+2
L=limn→∞z-2+in+12n+1n2+2n+2z-2+in2nn2+1=limn→∞z-2+in+12n+1n2+2n+22nn2+1z-2+in=
=limn→∞z-2+iz-2+inz-2+in∙2n2∙2n∙n2+1n2+2n+2=z-2+i∙12∙1=
=z-2+i2.
Отсюда заключаем, что ряд сходится абсолютно при условии z-2+i2<1,

или внутри круга z-2+i<2 с радиусом r=2 и с центром в точке z0=2-i.
Исследуем заданные точки.
Точка z1=2+3i расположена вне круга сходимости, так как
2+3i-2+i= 4i=4>2, поэтому ряд в ней расходится.
Для точки z2=4-i имеем 4-i -2+i= 2=2, то есть точка расположена на границе круга сходимости . Для исследования сходимости заданного ряда в этой точке поставим ее в ряд:
n=1∞4-i -2+in2nn2+1=n=1∞2n2nn2+1=n=1∞1n2+1.
Получили числовой знакоположительный ряд, который сходится как ряд
Дирихле n=1∞1nα
с показателем α=2:
limn→∞1n2+11n2=limn→∞n2n2+1=1.
Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно в точке z2=4-i по предельному признаку сравнения.
Точка z3=2-i расположена внутри круга сходимости, так как
2-i-2+i= 0<2, поэтому ряд в ней сходится абсолютно.
Ответ: Круг сходимости z-2+i<2, в точках z2=4-i и z3=2-i ряд сходится абсолютно, в точке z1=2+3i ряд расходится.