Найти экстремум функции двух переменных. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти экстремум функции двух переменных

Найти экстремум функции двух переменных .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти экстремум функции двух переменных: z=2x3+y2+6xy+12x

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Найдем критические точки из системы уравнений:
∂z∂x=0∂z∂y=0
∂z∂x=y=const=(2x3+y2+6xy+12x)x'=6x2+6y+12
∂z∂y=x=const=(2x3+y2+6xy+12x)y'=2y+6x
6x2+6y+12=02y+6x=0 6x2-18x+12=0y=-3x => x2-3x+2=0y=-3x
D=9-8=1
x1=3-12=1 x2=3+12=2
Получили критические точки:
M11;-3, M22;-6
Вычислим частные производные второго порядка:
∂2z∂x2=6x2+6y+12x'=12x
∂2z∂y2=2y+6xy'=2
∂2z∂x∂y=(2y+6x)x'=6
Вычислим значение частных производных второго порядка в критических точках:
A=∂2z∂x2M1=12 C=∂2z∂y2M1=2 B=∂2z∂x∂yM1=6
Вычислим значение выражения:
AC-B2=24-36=-12
Так как AC-B2<0 то в точке M1 экстремума нет
A=∂2z∂x2M2=24 C=∂2z∂y2M2=2 B=∂2z∂x∂yM2=6
Вычислим значение выражения:
AC-B2=48-36=12
Так как AC-B2>0 и A>0 то в точке M2 имеется минимум
zmin=zM2=16+36-72+24=4

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу