Найти точки условных экстремумов функции fx

X2+4y2=17 => φx,y=x2+4y2-17=0
Составим функцию Лагранжа:
L=fx,y-λ∙φx,y=2x-y-λ∙x2+4y2-17
Найдем критические точки из системы уравнений:
∂L∂x=0∂L∂y=0∂L∂λ=0
∂L∂x=2x-y-λ∙x2+4y2-17x'=2-2λx
∂L∂y=2x-y-λ∙x2+4y2-17y'=-1-8λy
∂L∂λ=2x-y-λ∙x2+4y2-17λ'=-x2+4y2-17
2-2λx=0-1-8λy=0-x2+4y2-17=0
Выразим x,y из первых двух уравнений и подставим в третье:
x=1λy=-18λx2+4y2-17=0 x=1λy=-18λ1λ2+116λ2-17=0 x=1λy=-18λ1716λ2-17=0 =>
λ1=14 x1=4 y1=-12 M14;-12
λ2=-14 x2=-4 y2=12 M2-4;12
Исследуем характер стационарных точек:
Вычислим дифференциал второго порядка:
d2L=∂2L∂x2(dx)2+2∂2L∂x∂ydxdy+∂2L∂y2(dy)2
∂2L∂x2=2-2λxx'=-2λ ∂2L∂y2=-1-8λyy'=-8λ ∂2L∂x∂y=-1-8λyx'=0
λ1=14 => d2L=-12(dx)2-2(dy)2<0
В точке M1 – условный максимум
fmax=f4;-12=172
λ2=-14 => d2L=12(dx)2+2(dy)2>0
В точке M2 – условный минимум
fmin=f-4;12=-172