Найти производные
1) excosx'=ex'cosx+excosx'=excosx-exsinx=excosx-sinx
2) x3∙tgx'=x3'∙tgx+x3∙tgx'=3x2tgx+x31cos2x=
=x23tgx+xc∙sec2x.
3) cosxsinx+5'=cosx'∙sinx+5-cosx∙sinx+5'sinx+52=
=-sinx∙sinx+5-cosx∙cosxsinx+52=-sin2x-5sinx-cos2xsinx+52=
=-5sinx-cos2x+sin2xsinx+52=-5sinx+1sinx+52.
4) 2x∙sinx'=2x'∙sinx+2x∙sinx'=2xln2∙sinx+2xcosx=
=2xln2∙sinx+cosx.
5) x2∙arctgx'=x2'∙arctgx+x2∙arctgx'=2x∙arctgx+x21+x2=
=x∙x1+x2+2arctgx.
6) 1x2+x+1'=-x2+x+1'x2+x+12=-2x+1x2+x+12.
7) sin2x'=2sinx∙sinx'=2sinx∙cosx=sin2x.
8) 3cosx'=13∙1cos23x∙cosx'=-sinx3cos23x.
9) ln4x'=4ln3x∙lnx'=4ln3xx.
10.1arcsinx'=-1arcsin2x∙arcsinx'=-11-x2arcsin2x.
11. arctgx4'=4arctgx3∙arctgx'=4arctgx31+x2.
12. sin5x'=cos5x∙ 5x'=5cos5x.
13. cosx2+1'=-sinx2+1∙x2+1'=-2x∙sinx2+1.
14. extgx'=extgx∙x∙tgx'=extgx∙x'∙tgx+x∙tgx'=
=extgx∙tgx+x∙1cos2x=extgx∙tgx+x∙sec2x.
15.sin(lnx)'=coslnx∙lnx'=coslnxx.
16. lnx2+x+1'=1x2+x+1x2+x+1'=2x+1x2+x+1
17. log2tgx'=tgx'ln2tgx=1cos2x∙1tgx=1cosx∙sinx=cosecx∙secx.
18. 3xarctgx'=3xarctgx∙ln3∙xarctgx'=
=3xarctgx∙ln3∙x'∙arctgx+x∙arctgx'=
=3xarctgx∙ln3∙arctgx+x∙11+x2'=
=ln3∙3xarctgx∙arctgx+x2x1+x=
=ln3∙3xarctgx∙arctgx+x2x+2.
19. arcsinlnx'=11-lnx2∙lnx'=11-lnx∙12lnxlnx'=
11-lnx∙12lnx∙1x=12xlnx1-lnx.
6. Провести полное исследование и построить график
1) y=x3x2-4;2) y=x2ex
Решение
1) y=x3x2-4
1. Область определения функции
Поскольку функция представляет собой рациональную дробь, то она определена и непрерывна всюду, за исключением точек x=-2 и x=2 , в которой обращается в нуль знаменатель.
Таким образом,
Dy=-∞;-2∪-2;2∪ 2; +∞.
2. Исследуем функцию на четность
y-x=-x3-x2-2=-yx-функция непарная,
а значит симметричная относительно начала координат; исследуемая функция непериодическая, т. к. не существует такого числа Т, чтобы выполнялось равенство f x T f x, xDf .
3. Заданная функция непрерывна всюду, кроме x=-2 и x=2 Вычислим ее односторонние пределы в этих точках:
limx→-2-0x3x2-4=-∞,limx→-2+0x3x2-4=+∞,
limx→2-0x3x2-4=-∞,limx→2+0x3x2-4=+∞,
Так как пределы равны бесконечности, точки x=-2,x=2 являются разрывом второго рода, прямые x =-2,x = 2 - вертикальная асимптота.
4.Асимптоты графика функции.
Найдем наклонные асимптоты графика y=kx+b, где
k=limx→∞yx, b=limx→∞y-kx:
k=limx→∞yx=limx→∞x3x2-4x=limx→∞x2x2-8x=1
b=limx→∞y-kx=limx→∞x3x2-4-x=limx→∞x3-x3+4xx2-4=limx→∞4xx2-4=0
То есть данная кривая имеет асимптоту y=x.
4.Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:
y'x=x3x2-4'=x3'∙x2-4-x3∙x2-4'x2-42=
=3x2∙x2-4-x3∙2xx2-42=x4-12x2x2-42=x2∙x2-12x2-42.
Находим критические точки:
y'x =0=>x2∙x2-12=0=>x=0, x=-23, x=23.
Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка делит область определения функции.
y' + - - - - +
4378960125095003641090166370002059940166370002917190166370001414005156210007170551155700018364209334500255079574295001181735933450041198807429500340296593345003962407175400 x
y -23 -2 0 2 23
Функция возрастает на интервалах -∞;-23,23;+∞ и убывает на интервалах -23;-2, -2;0,0;2,1;23 .
Функция имеет максимум в точке x =-23,
y-23=-233-232-4=-5,196
Функция имеет минимум в точке x =23, y23=233232-1=5,196
.
5)Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную.
y''x=x4-12x2x2-42'=
=x4-12∙x2'x2-42-x4-12∙x2x2-12'x-44=
=4x3-24∙xx2-12-4xx4-12∙x2x2-1x-44=
=4x3-24∙xx2-4-4xx4-12∙x2x-43=
=4x5-24∙x3-16∙x3+96x-4x5+48x3x-13=8∙x3+96xx-13=8∙xx2+12x-13
Находим критические точки: y''x=0=>8∙x3+96x=0=>x=0. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят области определения функции.
y'' - + - +
3790950179070002819400196850002040434152961001731645584200034196745524500251968075996001104900197160006629408509000 x
y -2 0 2
При-∞<x<-2и 0<x<2 имеем y''<0; следовательно, график функции выпуклый.
При-2<x<0 и 2<x<+∞ имеем y''>0; следовательно, график функции вогнут.
В точке с абсциссой x=0 и имеется перегиб графика; вычисляем ординаты точек перегиба:
y0=0.
7) Строим график функции, отметим ключевые точки
2) y=x2ex
1
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
