Найти экстремали функционала Jyx=x0x1y'1+x2y'dx

Поскольку функция Fx,y,y'=y'1+x2y' не зависит от y явно, то уравнение Эйлера имеет первый интеграл вида:
∂F∂y'=c1
В нашем случае:
∂F∂y'=1+x2y'+x2y'=1+2x2y'
Тогда:
1+2x2y'=c1
y'=c1-12x2
Интегрируем:
y=c1-12x2
И получаем семейство экстремалей:
y=1-c12x+c2
Определяем константы из граничных условий yx0=y0,yx1=y1:
y0=1-c12x0+c2y1=1-c12x1+c2
Вычтя из первого уравнения второе:
y0-y1=1-c12x0-1-c12x1
y0-y1=x1-x0+c1x0-x12x0x1 c1=2x0x1y0-y1x0-x1+1
Тогда из первого уравнения:
y0=1-2x0x1y0-y1x0-x1+12x0+c2 c2=y0+x1y0-y1x0-x1=x0y0-x1y1x0-x1
И допустимая экстремаль:
y=-x0x1y0-y1x0-x1x+x0y0-x1y1x0-x1