Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение уравнения имеет вид
yx=yоднx+yчастx
Найдем общее решение однородного уравнения
y''+4y=0,
для этого определим корни характеристического многочлена
λ2+4=0, ⟹λ2=-4, ⟹ λ=±2i.
Тогда общее решение однородного уравнения
yоднx=C1e2ix+C2e-2ix.
Удобнее фундаментальную систему решений удобнее взять в виде
cos2x=e2ix+e-2ix2, sin2x=e2ix-e-2ix2i
и общее решение однородного уравнения представить как
yоднx=C1cos2x+C2sin2x.
Исходя из вида неоднородности, частное решение неоднородного уравнения (3) ищем в виде
yчастx=Ae-2x.
Подставляем в уравнение (1), получим
4Ae-2x+4Ae-2x=e-2x, ⟹ A=18,
yчастx=18e-2x.
Общее решение исходного уравнения (3) имеет вид
yx=C1cos2x+C2sin2x+18e-2x.
y'x=-2C1sin2x+2C2cos2x-14e-2x.
Постоянные C1, C2 найдем из граничных условий
y0=C1+18=0, ⟹ C1=-18,
y'0=2C2-14=0, ⟹ C2=18.
Решение задачи Коши (3), (4) имеет вид
yx=-18cos2x+18sin2x+18e-2x=18e-2x-cos2x+sin2x.
Ответ:
yx=18e-2x-cos2x+sin2x.