В момент времени t=0 на сфере радиус которой r' выделилось Q=cρ единиц тепла

В силу радиальной симметрии постановки задачи, искомая функция распределения температуры будет зависеть только от двух переменных u=ur,t. Функция ur,t удовлетворяет неоднородному уравнению теплопроводности
cρut=kΔu+QSδr-r'δt, 0≤r<+∞, t≥0
где c − теплоемкость; ρ – плотность среды; k − коэффициент теплопроводности; S – площадь поверхности сферы радиуса r' с распределенными в ней источниками тепла, S=4πr'2; δx – дельта-функция Дирака;
Начальное условие
ur,0=0.
Учитывая, что Q=cρ, в сферических координатах уравнение можно переписать в виде
ut=a21r2∂∂rr2∂u∂r+14πr'2δr-r'δt, 0≤r<+∞, t≥0 .
(1)
где a2=k/cρ.
Начальное условие
ut=0=0.
(2)
По физическому смыслу задачи ищем ограниченное решение
ur,t<∞.
(3)
Сделаем замену
ur,t=vr,tr.
(4)
∂u∂t=1r∂v∂t, ∂u∂r=1r∂v∂r-vr2,
подставляем в уравнение (1)
1r∂v∂t=a21r2∂∂rr21r∂v∂r-vr2+14πr'2δr-r'δt
1r∂v∂t=a21r2∂∂rr∂v∂r-v+14πr'2δr-r'δt
1r∂v∂t=a21r2∂v∂r+r∂2v∂r2-∂v∂r+14πr'2δr-r'δt.
Следовательно, для функции vr,t получим следующее одномерное уравнение теплопроводности
∂v∂t=a2∂2v∂r2+r4πr'2δr-r'δt, 0≤ r<∞,
(5)
с граничным условием (с учетом условия ограниченности (3))
vr=0=rur=0=0,
(6)
и начальным условием
vt=0=rut=0=0.
(7)
Учитывая вид граничного условия при r=0, продолжим неоднородность r4πr'2δr-r'δt нечетным образом на отрицательные значения r<0 и рассмотрим задачу Коши для одномерного уравнения теплопроводности:
∂v∂t=a2∂2v∂r2+f(r,t), -∞<r<+∞, t>0,
где
f(r,t)=14πr'2rδr-r'+rδr+r'
vt=0=0
Для решения этой задачи Коши применим метод функций Грина