Найдите общие решения дифференциальных уравнений и частные решения. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найдите общие решения дифференциальных уравнений и частные решения

Найдите общие решения дифференциальных уравнений и частные решения .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найдите общие решения дифференциальных уравнений и частные решения, если есть начальные условия. y''+3y'+2y=e3x20x-11; x;y;y'=(0;0;0)

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдем общее решение однородного уравнения:
y''+3y'+2y=0
Составим и решим характеристическое уравнение:
k2+3k+2=0
D=9-8=1 k1=-3-12=-2 k2=-3+12=-1
Корни характеристического уравнения действительные и различные, поэтому общее решение однородного уравнения:
y0=C1e-2x+C2e-x
Найдем частное решение неоднородного уравнения . Правая часть неоднородного уравнения является функцией специального вида с характеристическим числом k=3, не совпадающим с корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение уравнения будем искать в виде:
y=e3xAx+B
y'=3e3xAx+B+Ae3x=e3x3Ax+A+3B
y''=3e3x3Ax+A+3B+3Ae3x=e3x9Ax+6A+9B
Подставим данные значений в исходное уравнение:
e3x9Ax+6A+9B+3e3x3Ax+A+3B+2e3xAx+B=e3x20x-11
20Ax+9A+20B=20x-11
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной x левой и правой частей:
20A=209A+20B=-11 A=1B=-1
y=e3xx-1
Общее решение уравнения запишем в виде:
y=y0+y=C1e-2x+C2e-x+e3xx-1
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
y0=0 => 0=C1+C2-1
y'=-2C1e-2x-C2e-x+3e3xx-1+e3x
y'0=0 => -2C1-C2-3+1=0
C1+C2=1-2C1-C2=2 C1=1-C2-2+2C2-C2=2 C1=-3C2=4
Частное решение:
y=-3e-2x+4e-x+e3xx-1

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу