Квадратичную форму q(X) порождает матрица A=031-2

Квадратичная форма имеет вид
q(X) = 4x1x2-2x22.
Выделим полный квадрат.
q(X) = -2 x12+4x1x2-2x22+2x12=2 x12-2x1-x22=2y12-2y22.
Ранг квадратичной формы равен рангу ее матрицы, то есть 2. Сигнатура этой квадратичной формы равна нулю или может быть записана в виде (1,1) или в виде (+-).
Симметричная матрица A’ имеет вид
A'=022-2.
Определим собственные векторы матрицы А’. Для этого найдем
собственные значения.
A'-λE=-λ22-2-λ=λ2+2λ-4=0,
λ1 = - 1 + 5, λ2 = -1 - 5.
Найдем собственные векторы
1-5 z1 + 2 z2 = 0,
2 z1 + (-2 + 1 - 5) z2 = 0,
Из этих уравнений находим z1 = 5+12, z2 = 1.
Первый собственный вектор
v1=5+121.
1+5 z1 + 2 z2 = 0,
2 z1 + (-2 + 1+ 5) z2 = 0,
z1 = -5+12, z2 = 1
Второй собственный вектор
v2=-5+121.
Матрица, составленная из собственных векторов,
V=5+12-5+1211.
Обратная матрица
V-1=155-125-155+125.
Матрица квадратичной формы в базисе из собственных векторов
A"=V-1A' V=5-100-5-1.
Квадратичная форма в каноническом виде
qX=5-1 x12-5+1x22.
Ранг квадратичной формы равен 2 . Сигнатура этой квадратичной формы равна нулю или может быть записана в виде (1,1) или в виде (+-).
Ортогональное преобразование может быть получено путем нор-
мирования матрицы собственных векторов.
Первый нормированный собственный вектор
u1=v1v1=5+110+25-210+25.
Второй нормированный собственный вектор
u2=v2v2=210+255+110+25.
Матрица ортогонального преобразования
U=5+110+25210+25-210+255+110+25.
Матрица квадратичной формы в ортогональном базисе.
A"=UTA' U=5-100-5-1.
Квадратичная форма в каноническом виде
qX=5-1 x12-5+1x22.
Ранг квадратичной формы равен 2