Исследовать ряд на сходимость n=1∞n!3n+1

Для исследования сходимости применим признак Даламбера:
an=n!3n+1 an+1=(n+1)!3(n+1)+1=n!∙(n+1)3n+4
limn→∞an+1an=limn→∞n!∙(n+1)3n+4∙3n+1n!=limn→∞3n2+4n+13n+4=Разделим числитель и знаменатель на n2=
=limn→∞3+4n+1n23n+4n2=30=∞>1
По признаку Даламбера ряд расходится.
Исследуем на сходимость ряд:
n=1∞bn=n=1∞1n3
Применим интегральный признак сходимости:
1∞dxx3=lima→∞1adxx3=-2lima→∞1xa1=-2lima→∞1a-1=2
Значит данный ряд сходится.
Сравним исходный ряд со сходящимся рядом:
an=n+2n5+2n3+n bn=1n3
limn→∞anbn=limn→∞(n+2)n3n5+2n3+n=limn→∞n5+2n3n5+2n3+n=Разделим числитель и знаменатель на n5=
=limn→∞1+21n21+2n2+1n4=1
Получили конечное, отличное от нуля число