Исследовать функционал на экстремум Jy=0π2216y2+y''2dx

Имеем:
L=16y2+y''2
∂L∂y=32y
∂L∂y'=0
∂L∂y''=2y''
Тогда:
d2dx2∂F∂y''=2yIV
Записываем уравнение Эйлера-Пуассона:
∂L∂y-ddx∂L∂y'+d2dx2∂L∂y''=0
Получаем:
32y+2yIV=0
Или:
yIV+16y=0
Характеристическое уравнение:
k4+16=0
k2+4ik2-4i=0
k1,2=2±2i;k3,4=-2±2i
Т.е. общее решение второго уравнения:
y=e2xc1cos2x+c2sin2x+e-2xc3cos2x+c4sin2x
Находим производную:
y'=2e2x(c1+c2)cos2x+(c2-c1)sin2x+2e-2xc4-c3cos2x-(c3+c4)sin2x
Определяем значения неизвестных констант, используя граничные условия y0=y'0=yπ22=0,y'π22=-22shπ2:
0=c1+c30=2(c1+c2)+2c4-c30=eπ2c2+e-π2c4-22shπ2=2eπ2c2-c1-2e-π2(c3+c4)
Или:
c1+c3=0c1+c2-c3+c4=0eπ2c2+e-π2c4=0eπ2c2-c1-e-π2c3+c4=-eπ2-e-π2 c1=1c2=0c3=-1c4=0
Получили допустимую экстремаль:
y=e2xcos2x-e-2xcos2x=2cos2xsh2x
Для всякой функции ηx∈C1[0;π22], такой что η0=ηπ22=0, имеем:
∆J=Jy+η-Jy=
=0π2216y+η2+y''+η''2dx-0π2216y2+y''2dx=
=0π2232yη+16η2+2y''η''+η''2dx
Далее, с учетом того, что η0=ηπ22=0:
0π222y''η''dx=dv=η''dxv=η'dxu=2y''du=2y'''dx=2y''η'0π22=0, т.к.y''=-8sin2xch2x-0π222y'''η'dx=
=dv=η'dxv=ηdxu=2y'''du=2yIVdx=-2y'''η0π22=0+0π222yIVηdx
Получаем:
∆J=160π22η2dx≥0+0π22η''2dx≥0+20π22yIV+16y=0, т.к