Графический метод. Постановка задачи: для изготовления двух видов продукции имеются три вида ресурсов, объемы которых ограничены величинами b1, b2, b3 соответственно. Расход і-го вида ресурса на изготовление одной единицы j-го вида продукции равен аij, i=1, 2, 3, j=1, 2. Объем выпуска каждого из видов продукции ограничен числом х1* и х2* единиц, а прибыль, получаемая от реализации одной единицы изготовленной продукции равна с1 и с2 соответственно. Данные задачи могут быть представлены в форме таблицы:
Номер ресурса Номер продукции Объем ресурса
А В
1 3 11 165
2 2 3 58
3 8 1 144
Прибыль 7 2
Ограничения по выпуску 17 14
Требуется составить план выпуска продукции (число единиц продукции по каждому виду), удовлетворяющий принятым ограничениям и приносящий максимум прибыли после реализации выпущенной продукции.
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
Для получения максимальной суммарной прибыли в размере 135 д.е. необходимо изготовить 17 единиц продукции А и 8 единицы продукции В. При этом ресурс 1 и 2 используются полностью, а ресурса 1 останется 26.
Решение
Пусть для получения максимальной суммарной прибыли необходимо выпускать х1 единиц продукции А и х2 единиц продукции В.
Для изготовления такого количества продукции затрачивается:
Ресурс 1 (3х1+11х2)
Ресурс 2 (2х1+3х2)
Ресурс 3 (8х1+х2).
Но так как всего имеется
Ресурса 1 - 165,
Ресурса 2 – 58,
Ресурса 3 – 144.
Количество затраченных ресурсов не должно превышать соответствующие заданные объемы этих ресурсов.
Суммарная прибыль от реализации всей выпущенной продукции составит
(7х1+2х2) д.е. и она должна быть максимальной
.
Запишем математическую модель исходной задачи.
x1 > 0, x2 > 0
3x1+11x2≤1652x1+3x2≤588x1+x2≤144x1≤17x2≤14
Z = 7x1 + 2x2 → max
Решим задачу графическим методом.
На координатной плоскости построим область допустимых решений данной системы неравенств.
x1 0, x2 0 - эти неравенства на координатной плоскости определяют множество точек, лежащих в I координатной четверти и на положительных полуосях координатных осей.
l1: 3x1+11x2=165
x1 0 55
x2 15 0
l2: 2x1+3x2=58
x1 8 29
x2 14 0
l3: 8x1+x2=144
x1 18 17
x2 0 8
l4: x1 < 17, l5: x2 < 14 – эти неравенства определяют границы выпуска каждого вида продукции.
Пересечение всех полуплоскостей, являющихся решением неравенств, определяет область допустимых решений - многоугольник ОАВСDE.
Любая точка этого многоугольника является допустимым решением системы неравенств