Имеется 4 телефона, соединённых с офисной АТС двумя каналами. Каждый телефон используется 2 раза в час, 4 раза в час, 6 раз в час при этом длительность разговора экспоненциально распределена со средним 3 минуты. Вычислить:
Вероятность блокировки и коэффициент использования канала для СМО с потерями;
Среднее время ожидания и коэффициент использования для СМО с ожиданием.
Решение
1. Рассмотрим СМО с потерями.
Вероятность блокировки определяется по формуле:
E(ρ)=ρυυ!∙p0,
где p0 – предельная вероятность:
p0=m=0υρmm!-1
По условиям задачи при использовании телефонов 2 раза в час имеем λ=2∙4=8 час-1, μ=603=20 час-1, υ=2. Тогда относительная интенсивность перехода составит:
ρ=λμ=820=0.4,
тогда вероятность явных потерь примет вид:
Eυρ=0.422!∙1+0.411!+0.422!-1≈0.0541
Найдем среднее число занятых каналов:
υ=ρ∙1-ρυυ!∙p0=ρ∙1-Eρ=0.4∙1-0.0541≈0.3784
Тогда коэффициент использования каналов составит:
KИ=υυ=0.37842=0.1892
Таким образом, при использовании телефонов 2 раза в час вероятность потерь составляет 5.41%, при этом каналы используются на 18.92%.
Аналогичные вычисления проведем для λ=4∙4=16 час-1:
ρ=λμ=1620=0.8,
Eυρ=0.822!∙1+0.811!+0.822!-1≈0.1509
υ=0.8∙1-0.1509≈0.6792
KИ=0.67922=0.3396
Таким образом, при использовании телефонов 4 раза в час вероятность потерь составляет 15.09%, при этом каналы используются на 33.96%.
Аналогичные вычисления проведем для λ=6∙4=24 час-1:
ρ=λμ=2420=1.2,
Eυρ=1.222!∙1+1.211!+1.222!-1≈0.2466
υ=1.2∙1-0.2466≈0.9041
KИ=0.90412=0.45205
Таким образом, при использовании телефонов 6 раза в час вероятность потерь составляет 24.66%, при этом каналы используются на 45.205%.
2
. Рассмотрим СМО с ожиданиями.
Среднее время ожидания определяется по формуле:
tож=1λ∙ρυ+1υ-1!1-ρυ2∙p0 ,
где p0 – предельная вероятность:
p0=n=0υ-1ρnn!+ρυυ!∙11-ρυ-1
При λ=8 час-1 получаем:
1p0=1+0.411!+0.422!+0.422!∙11-0.42=1.58
tож=18∙0.42+12-1!1-0.422∙11.58≈0.0079
Вероятность явных потерь составит:
Eυρ=ρυυ!∙p0=0.422!∙11.58≈0.0506
Среднее число каналов:
υ=Aμ=λqμ=λqμ=λ∙(1-Eυρ)μ=ρ∙1-Eυρ=0.4∙1-0.0506≈0.3797
Коэффициент использования каналов:
KИ=υυ=0.37972≈0.18985
Таким образом, при использовании телефонов 2 раза в среднее время ожидания составляет 0.0079 часа или 28.5 сек, при этом каналы используются на 18.985%.
При λ=16 час-1 получаем:
1p0=1+0.811!+0.822!+0.822!∙11-0.82≈2.6533
tож=116∙0.82+12-1!1-0.822∙12.6533≈0.0335
Eυρ=0.822!∙12.6533≈0.1206
υ=0.8∙1-0.1206≈0.7035
KИ=0.70352≈0.35175
Таким образом, при использовании телефонов 4 раза в среднее время ожидания составляет 0.0335 часа или 2.01 мин, при этом каналы используются на 35.175%.
При λ=24 час-1 получаем:
1p0=1+1.211!+1.222!+1.222!∙11-1.22=4.72
tож=124∙1.22+12-1!1-1.222∙14.72≈0.0953
Eυρ=1.222!∙14.72≈0.1525
υ=1.2∙1-0.1525≈1.0169
KИ=1.01692≈0.50845
Таким образом, при использовании телефонов 6 раза в среднее время ожидания составляет 0.0953 часа или 5.72 мин, при этом каналы используются на 50.845%.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
