Найти все частные производные второго порядка заданной функции двух переменных

При нахождении частной производной по одной из переменных, остальные считаются постоянными. Найдем частные производные первого порядка:
ux'=lnx2+y2x'=1x2+y2x2+y2x'=1x2+y2x2x'+y2x'=
=1x2+y22x+0=2xx2+y2
uy'=lnx2+y2y'=1x2+y2x2+y2y'=1x2+y2x2y'+y2y'=
=1x2+y20+2y=2yx2+y2
Найдем частные производные второго порядка:
uxx'=ux'x'=2xx2+y2x'=2xx'x2+y2-2xx2+y2x'x2+y22=
=2x2+y2-2xx2x'+y2x'x2+y22=2x2+y2-2x2x+0x2+y22=
=2x2+2y2-4x2x2+y22=-2x2+2y2x2+y22=-2x2-y2x2+y22
uyy'=uy'y'=2yx2+y2y'=2yy'x2+y2-2yx2+y2y'x2+y22=
=2x2+y2-2yx2y'+y2y'x2+y22=2x2+y2-2y0+2yx2+y22=
=2x2+2y2-4y2x2+y22=2x2-2y2x2+y22=2x2-y2x2+y22
Найдем смешанные производные:
uxy'=ux'y'=2xx2+y2y'=2xx2+y2-1y'=-2x x2+y2-2x2+y2y'
=-2xx2+y22x2y'+y2y'=-2xx2+y220+2y=-4xyx2+y22
uyx'=uy'x'=2yx2+y2x'=2yx2+y2-1x'=-2y x2+y2-2x2+y2x'
=-2yx2+y22x2x'+y2x'=-2yx2+y222x+0=-4xyx2+y22
Обратим внимание, что
uxy'=uyx'