Двумерный случайный вектор X Y равномерно распределен внутри области B

Построим область B. Соединим последовательно точки с координатами из таблицы, согласно рисунку
точку x1; 0=0; 0 с точкой x2;y2=4; 2
точку x2; y2=4; 2 с точкой x4;y2=4; 2
точку x4; y2=4; 2 с точкой x3;y1=6; 1
точку x3; y1=6; 1 с точкой x5;y1=6; 1
точку x5; y1=6; 1 с точкой x6;0=8; 0
Совместная плотность распределения
fx, y=c, 0≤y≤2, 2y≤x≤8-2y,0, иначе.
Неизвестную константу c определим, использовав условие нормировки плотности вероятности
-∞∞-∞∞fx,ydxdy=022y8-2ycdxdy=c028-2y-2ydy=c028-4ydy=4c022-ydy=4c2y02-y2202=4c4-2=8c=1 ⟹c=18
Совместная плотность распределения имеет вид
fx, y=18, 0≤y≤2, 2y≤x≤8-2y,0, иначе.
Проверим геометрически полученный результат . Объем тела, ограниченный поверхностью распределения и плоскостью xOy, должен равен единице, то есть объем прямой треугольной призмы равен V=h∙S=18∙12∙2∙8=1.
Вычислим математическое ожидания
mX=-∞∞-∞∞xfx,ydxdy=022y8-2y18xdxdy=11602x22y8-2ydy=1160264-32y+4y2-4y2dy=1160264-32ydy=11664y02-16y202=116128-64=4
mY=-∞∞-∞∞yfx,ydxdy=02y2y8-2y18dxdy=18028-2y-2yydy=18028-4yydy=12022y-y2dy=12y202-y3302=124-83=12∙43=23≈0,6667
Вычислим дисперсии
DX=-∞∞-∞∞x2fx,ydxdy-mX2=022y8-2y18x2dxdy-42=12402x32y8-2ydy-16=12402512-384y+96y2-8y3-8y3dy-16=12402512-384y+96y2-16y3dy-16=124512y02-192y202+32y302-4y402-16=1241024-768+256-64-16=44824-16=563-16=83≈2,6667
DY=-∞∞-∞∞y2fx,ydxdy-mY2=02y22y8-2y18dxdy-232=18028-2y-2yy2dy-49=18028-4yy2dy-49=12022y2-y3dy-49=122y3302-y4402-49=12163-4-49=83-2-49=23-49=29≈0,2222
Корреляционный момент
KXY=-∞∞-∞∞xyfx,ydxdy-mXmY=02y2y8-2y18xdxdy-4∙23=11602x22y8-2yydy-83=1160264-32y+4y2-4y2ydy-83=1160264y-32y2dy-83=11632y202-32y3302-83=116128-2563-83=8-163-83=83-83=0
Коэффициент корреляции
RXY=KXYDXDY=02,6667∙0,2222=0