Найти интегралы от рациональных дробей 5x+8dx(x2+5)(x-2)

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов, для этого разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:
5x+8(x-2)(x2+5)=Ax-2+Bx+Cx2+5
A*x2+5+Bx+C*x-2=5x+8
Ax2+5A+Bx2-2Bx+Cx-2C=5x+8
Приравнивая коэффициенты между соответствующими степенями, получаем систему уравнений:
A+B=0-2B+C=55A-2C=8
Решив данную систему, получим, что:
A=2;B=-2;C=1
Тогда подынтегральная дробь перепишется так:
5x+8(x-2)(x2+5)=Ax-2+Bx+Cx2+5=2x-2+1-2xx2+5
Получаем:
5x+8dx(x2+5)(x-2)=2x-2+1-2xx2+5dx=2dxx-2+1-2xx2+5dx=2d(x-2)x-2+dxx2+5-2xx2+5dx=2lnx-2+dxx2+52-dx2+5x2+5=2lnx-2+arctg x55-lnx2+5+C