Для непрерывной случайной величины с функцией плотности fx определить значение параметра λ

Определим значение параметра из свойства плотности распределения непрерывной случайной величины:
-∞∞fxdx=1
02λx3+xdx=λx44+x2202=λ4+2=1⟹λ=16
Найдем функцию распределения, используя её свойство:
F(x)=-∞xf(t)dt
1) x≤0: F(x)=-∞x0dt=0
2) 0<x≤2: Fx=-∞00dt+160xt3+t dt=16t44+t220x=124x4+2x2
3) x>2: Fx=-∞00dt+1602t3+t dt+2x0 dt=16t44+t2202=164+2=1
Функция распределения случайной величины Х:
Fx=0, x≤0124x4+2x2, 0<x≤21, x>2
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
Mξ=-∞∞x∙fxdx=02x∙16x3+xdx=16x55+x3302=16325+83=6845≈1,511.
Дисперсия:
Dξ=Mξ2-M2ξ=02x2∙16x3+xdx=16x66+x4402-M2ξ=16323+4-68452=3262025≈
≈0,161
Среднее квадратическое отклонение:
σ=Dξ=3262025=32645≈0,401.
Мода Mo – это значение с наибольшей вероятностью fMo-max.
При x∈0;2, f'x=163x2+1≠0, f0=0,f2=53≈1,667-max⟹Mo=2.
Медиана непрерывной случайной величины Х:
PX<Me=PX>Me=FMe=12
124x4+2x2=12⟹x4+2x2-12=0⟹x1,22=-2±4+482⟹x2=-2+522⟹
x=±-2+522, x∈0;2⟹Me=-2+522≈1,614.
Построим графики и отметим на них найденные характеристики:
Ответ: λ=16;Mx≈1,511;Dξ≈0,161;σ≈0,401; Mo=2;Me≈1,614.