Даны вершины треугольника. Найти 1) длину стороны

AB=xB-xA2+yB-yA2=7--52+7--22=122+92=144+81=225=15.
2) Cоставим уравнения прямых АВ и АС, которые лежат на сторонах треугольника АВС, используя уравнение прямой проходящей через две точки:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1.
AB:x--57--5=y--27--2;x+512=y+29;
9x+45-12y-24=0;3x-4y+7=0; y=34x+74→kАВ=34.
AC: x--55--5=y--2-7--2;x+510=y+2-5;
-5x-25-10y-20=0;x+2y+9=0; y=-12x-92→kАС=-12.
3) Найдем угол А треугольника, как угол между прямыми АВ и АС по формуле:
tgφ=k1-k21+k1k2.
tgφ=kАС-kАВ1+kАВkАС=-12-341+34∙-12=-5458=-54∙85=-2=2.
Следовательно, φ=arctg2≈63,44o≈63,44o∙π180=1,107 радиан.
4)Чтобы написать уравнение высоты СD треугольника АВС воспользуемся условием перпендикулярности прямых l1 и l2.
l1 l2↔k1∙k2=-1
kАВ=34
Тогда, угловой коэффициент прямой СD:
СD AВ→kСD=-1kАВ=-134=-43.
Запишем теперь уравнение высоты СD, используя уравнение прямой проходящей через данную точку Сx0,y0=С5,-7 с данным угловым коэффициентом, равным 43.:
y-y0=kx-x0
СD:y--7=-43x-5;
3y+21=-4x+20;
4x+3y-20+21=0:
4x+3y+1=0.
Чтобы найти длину высоты CD воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой на прямой:
d=ρM0;l=Ax0+By0+CA2+B2.
СD=ρС;AВ=3∙5-4∙(-7)-732+(-4)2=15+28+79+16=5025=10.
5) Найдем сначала координаты точки Е – середина ВС по формуле середины отрезка:
xЕ=xB+xC2=7+52=6; yЕ=yB+yC2=7+(-7)2=0→ Е(6;0)
Составим уравнение медианы АЕ, используя уравнение прямой проходящей через две точки:
АЕ: x--56--5=y--20--2; x+511=y+22;
2x+5=11y+2;
2x+10=11y+22;
2x-11y-12=0.
Ответы:
1) AB=15.
2) AB:3x-4y+7=0; kАВ=34.
AC: x+2y+9=0; kАС=-12.
3) φ=1,107 радиан.
4) СD:4x+3y+1=0.СD=10.
5) АЕ: 2x-11y-12=0.