Решить дифференциальные уравнения y"-2y'+y=cos5x

Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнения y''-2y'+y=cos5x. Для этого составим характеристическое уравнение k2-2k+ 1 =0 и найдём его корни k1= k2 1. Общее решение однородного уравнения будет
yo.0=C1ex+C2xex.
Правая часть неоднородного уравнения имеет вид: fx cos5x . Частное решение можно искать методом неопределённых коэффициентов. Частное решение, соответствующее правой части fx cos5x будем искать в виде:
yч.н=Аcos5x +Bsin5x, где А,B неизвестные постоянные
Находим производные:
yч.н'=-5А sin5x+5Bcos5x
yч.н''=-25Аcos5x sin5x-25Bsin5x
Подставляем в данное неоднородное уравнение:
-25А cos5x-25Bsin5x-2-5А sin5x+5Bcos5x+Аcos5x +Bsin5x==cos5x,
-24A-10Bcos5x+10A-24B=cos5x.
Приравняем коэффициенты при cosx и при sinx в левой и правой частях тождества.
-24A-10B=110A-24B=0=>A=-6169, B=-5338
Таким образом,
yч.н.=-6169cos5x-5338sin5x.
Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения есть yо.н