Даны координаты вершин тетраэдра А1А2А3А4

Найдем длину ребра А1А2 по формуле:
А1А2=xA2-xA12+yA2-yA12+zA2-zA12=
=-1--22+7-02+1--42=12+72+52=1+49+25=75=
=53≈8,66.
2)По теореме косинусов найдем угол между ребрами А1А2 и А1А4:
∠А1А2; А1А4= arccosА1А22+А1А42-A2A422∙А1А2∙ А1А4 (*), для нахождения этого угла, надо найти длины ребер А1А4 и А2А4:
А1А2=53 (нашли в пункте 1))
А1А4=xA4-xA12+yA4-yA12+zA4-zA12=
=1--22+-4-02+6--42=
=32+-42+102=9+16+100=125=55;
А2А4=xA4-xA22+yA4-yA22+zA4-zA22=
=1--12+-4-72+6-12=22+-112+52=
=4+121+25=150=56.
Подставим полученные значения в формулу (*):
*= arccos532+552-5622∙53∙55=arccos75+125-1502∙25∙15=arccos505015=
=arccos115=arccos1515≈0,2582 .
По таблице Брадиса найдем ∠А1А2; А1А4≈75° 02'.
3)Найдем угол между ребром и гранью ;
Чтобы найти угол между ребром и гранью надо предварительно найти уравнение прямой и уравнение грани .
Запишем уравнение прямой по формуле x-xA1xA4-xA1=y-yA1yA4-yA1=z-zA1zA4-zA1 , подставив координаты соответствующих точек:
x--21--2=y-0-4-0=z--46--4 ⇒ x+23=y-4=z+410 .
Направляющий вектор прямой : S3; -4;10.
Напишем уравнение грани (A1A2A3) по формуле уравнения плоскости, проходящей через три точки:
x-xA1y-yA1z-z1xA2-xA1yA2-yA1zA2-zA1xA3-xA1yA3-yA1zA3-zA1=0 ⇒x--2y-0z--4-1--27-01--44--2-8-0-4--4=0 ⇒
⇒x+2yz+41756-80=0 ⇒
⇒x+2∙75-80-y∙1560+z+4∙176-8=0 ⇒
⇒x+2∙0+40-y∙0-30+z+4∙-8-42=0 ⇒
⇒ 40∙x+2+30∙y-50∙z+4=0 ⇒
⇒ 40x+80+30y-50z-200=0⇒
40x+30y-50z-120=0;
4x+3y-5z-12=0 - уравнение плоскости или уравнение грани .
Нормальный вектор плоскости : n4;3;-5.
Тогда
sinA1A4;A1A2A3=n∙Sn∙S ; где n∙S- скалярное произведение векторов
n4;3;-5 и S3; -4;10 ; n-длина вектора n ; S - длина вектора S .
Найдем
n∙S=3∙4+-4∙3+10∙-5=12-12-50=-50.
n=42+32+-52=16+9+25=50=52.
S=32+-42+102=9+16+100=125=55