Решить дифференциальные уравнения 2y'+xy=1+xe-xy2

Имеем уравнение Бернулли:
2y'+xy=1+xe-xy2
y'+xy=121+xe-xy2
Выполним замену:
y=UV, y'=U'V+UV'
U'V+UV'+xUV=121+xe-xUV2
V'+xV=0U'V=121+xe-xUV2.
Решаем первое уравнение системы:
V'+xV=0
dVdx=-xV
dVV=-xdx
dVV=-xdx
lnV=-x22⟹V=e-x22.
Подставляем функцию V=e-x22 во второе уравнение системы:
U'∙e-x22=121+xe-xU∙e-x222
U'=121+xe-x22-x∙U2
dUdx=121+xe-x22-x∙U2
dUU2=121+xe-x22-x∙dx
dUU2=121+xe-x22-x∙dx
-1U=-12e-x22-xde-x22-x
-1U=-12e-x22-x+C
1U=12e-x22-x-C
U=2ex22+x1+Cex22+x.
Тогда
yx=UV=2ex22+x1+Cex22+x∙e-x22=2ex1+Cex22+x.
Решим задачу Коши, подставляя начальное условие y0=2:
y0=2e01+Ce022+0=21+C=2⟹C=0.
Тогда решение задачи Коши:
yx=2ex.
Ответ: yx=2ex.