Даны дифференциальные уравнения второго порядка

Понижаем порядок уравнения заменой
y'=u
u'+3utgx=0.
Группировка:
u'=-3utgx.
Преобразование u'x=dudx
dudx=-3utgx.
Кмножаем на дифференциал dx:
du=-3utgxdx.
Делим на u:
duu=-3tgxdx.
Интегрируем обе части уравнения:
1udu=-3tgxdx.
Вычисляем полученные интегралы:
lnu=3lncosx+C
Применим формулы elna=a
u=eCcos3(x)
u=Ccos3(x)
Обратная замена u=y'
y'=Ccos3(x)
Преобразование y'(x)=dydx
dydx=Ccos3(x)
Умножаем на дифференциал dx:
dy=Ccos3(x)dx
Интегрируем обе части уравнения:
dy=Ccos3(x)dx
Вычисляем полученные интегралы:
y=Csinx-sin3x3+C1.
Ответ: y=Csinx-sin3x3+C1.