Дано число z=-2+2i3-i. Требуется 1) записать число z в тригонометрической и показательной формах. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Дано число z=-2+2i3-i. Требуется 1) записать число z в тригонометрической и показательной формах

Дано число z=-2+2i3-i. Требуется 1) записать число z в тригонометрической и показательной формах .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Дано число z=-2+2i3-i Требуется: 1) записать число z в тригонометрической и показательной формах; 2) найти z4; 3) найти 4z.

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Z=-2+2i3-i=-2+2i3+i3-i3+i=-23-2i+23i+2i23-i2=
=-23-2i+23i-23-i2=-2(3+i-3i+1)4=-3+i-3i+12=
=3+1+i(1-3)2=-3+12-1-32i
Перейдем от алгебраической формы записи комплексного числа z=x+iy к тригонометрической форме z=rcosφ+isinφ, используя формулы
r=z=x2+y2, φ=argz=arctgyx, при x>0arctgyx+π, при x<0,y>0arctgyx-π, при x<0,y<0
Имеем:
r=-3+122+-1-322=3+23+14+1-23+34=
=1+1=2
Так как x<0,y>0, то
φ=arctgyx+π=arctg-1-32-3+12+π=arctg1-33+1+π
Тогда тригонометрическая форма записи:
z=2cosarctg1-33+1+π+isinarctg1-33+1+π
Упростим выражение:
arctg1-33+1=arctg(1-3)(3-1)(3+1)(3-1)=arctg-3-123-1=
=arctg-(3-23+1)3-1=arctg-(4-23)2=arctg (3-2)
Используем
arctg 3-2=x→3-2=tg x
Используем формулу
tg 2x=2tgx1-tg2x
Получаем
tg 2x=2(3-2)1-3-22=2(3-2)1-(3-43+4)=2(3-2)-6+43=
=3-2-3+23=3-223+3(23-3)(23+3)=6+33-43-612-9=-33
tg 2x=-33→2x=arctg -33=-arctg 33→2x=-π6→
→x=-π12
Имеем:
z=2cos-π12+π+isin-π12+π=2cos11π12+isin11π12
Перейдем от алгебраической формы записи комплексного числа z=x+iy к показательной форме z=reiφ:
z=2e11π12i
1

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу