Данную систему уравнений исследовать и решить тремя способами

С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
А=3222-3-1113
данной системы и ранг расширенной матрицы
В=3222-3-111313-2
Для этого умножим первую строку матрицы на -2/3 сложим со второй, а затем умножим первую строку матрицы на -1/3 сложим с третьей; умножим вторую строку матрицы на 1/13 сложим с третей, получим
В=3222-3-111313-2~3220-1337301373173-73~3220-133-73002813173-2813
Следовательно, rangA = rangB = 3 (числу неизвестных), исходная система имеет единственное решение
а) Находим решение системы по формулам Крамера
Найдем определитель основной матрицы системы:
∆=3222-3-1113=3-3-113-2∙2-113+2∙2-311=
=3-9+1-2∙6+1+2∙2+3=-24-14+10=-28
Теперь вычислим вспомогательные определители
∆x=1223-3-1-213=1-3-113-2∙3-1-23+2∙3-3-21=
=1∙-9+1-2∙9-2+2∙3-6=-8-14-6=-28;
∆y=31223-11-23=33-1-23-1∙2-113+2∙231-2=
=3∙9-2-1∙6+1+2∙-4-3=21-7-14=0;
∆z=3212-3311-2=3-331-2-2∙231-2+1∙2-311=
=3∙6-3-2∙-4-3+1∙2+3=9+14+5=28;
Используя формулы Крамера, находим неизвестные x, y и z
x=∆x∆=-20-28=1, y=∆y∆=0-28=0,z=∆z∆=28-28=-1.
б) Метод Гаусса . Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования. Поменяем первую и третью строки местами. Умножим первую строку матрицы на -2 сложим со второй, а затем умножим первую строку матрицы на -3 и сложим с третьей; делим вторую строку на 7; умножим вторую строку матрицы на -15 ;сложим вторую строку с третей, получим
3222-3-111313-2~1132-3-1322-231~1130-5-70-1-7-277~
~113011,400-5,6-2-1,45,6
Последней матрицей соответствует система, эквивалентная исходной:
x+y+3z=-2y+1,4z=-1,4-5,6z=5,6
Из этой системы, двигаясь снизу вверх, последовательно находим:
z=-1,y=0, x=1
Следовательно, x=1,y = 0, z=-1
в) Решение матричным методом:
Формируем матрицы, состоящие из элементов системы:
А=3222-3-1113, Х=xyz, В=13-2
Запишем систему в матричном виде AX B :
3222-3-1113∙xyz=13-2
Прежде всего, найдем матрицу А-1, обратную матрице А.Определитель основной матрицы системы:
∆=3222-3-1113=-28
Алгебраические дополнения всех элементов:
A11=-3-113=8; A12=-2-113=-7; A13=2-311=5;
A21=-2213=-4; A22=3213=7; A23=-3211=-1;
A31=22-3-1=4; A32=-322-1=7; A33=322-3=-13
Транспонированная союзная матрица:
AT=-8-44-7777-1-13
Тогда обратная матрица имеет вид
A-1=ATdetA=-1-28-8-44-7777-1-13=2717-1714-14-14-5281281328
Найдем решение
X=xyz=A-1∙B=2717-1714-14-14-5281281328∙13-2
=27∙1+17∙3-1714∙1-14∙3-14∙-2-528∙1+128∙3+1328∙-2=27+37+2714-34+24-528+328-2628=10-1
 Отсюда получаем решение системы: x=1, y=0, z=-1.
Ответ: x=1, y=0, z=-1.