Дана выборка объема 50 из неизвестного распределения.
Таблица 1. Выборка неизвестного распределения
0,026 0,104 0,097 0,019 0,33
0,118 0,152 0,177 0,059 0,057
0,022 0,242 0,334 0,152 0,583
1,151 0,014 0,114 0,363 0,402
0,44 0,191 0,625 0,824 0,599
0,414 0,029 0,265 0,289 0,235
0,058 0,067 0,404 0,078 0,102
0,043 0,051 0,34 0,478 0,28
0,543 0,449 0,3 0,029 0,031
1,127 0,108 0,026 0,045 0,081
1. Построить эмпирическую функцию распределения и гистограмму.
2. Выдвинуть правдоподобную простую гипотезу о распределении.
Возможный набор:
а) E(θ), где θ =1, 2, 3,… целое;
б) R(0,θ), где θ =1,2,3,… целое;
в) N(θ,1), где θ =0,1,2,3,… целое.
3. Проверить выдвинутую гипотезу с помощью критерия Колмогорова и критерия Пирсона для уровня значимости α=0,05.
4. Найти методом моментов и максимального правдоподобия теоретические оценки для неизвестных параметров распределения (в соответствии с выдвинутой гипотезой).
5. Вычислить значения оценок для данной выборки.
Решение
Упорядочим данную выборку в Excel и разобьем ее на интервалы, количество которых найдем по формуле Стерджеса:
n=1+3,322lgN≈1+3,322lg50≈6,6, принимаем n=7. (1)
Определим длину интервала:
h=Rn=1,1376≈0,19, где R=1,137-размах выборки. (2)
Составим интервальный ряд (таблица 2).
Таблица 2. Интервальный ряд
№ интервала xi
xi+1
ni
1 0,014 0,176 25
2 0,176 0,338 10
3 0,338 0,5 8
4 0,5 0,662 4
5 0,662 0,824 1
6 0,824 0,986 0
7 0,986 1,151 2
Последние три интервала (5-6) рекомендуется объединить в один.
Таблица 3. Уточненный интервальный статистический ряд
№ интервала xi
xi
xi;xi+1
ni
fi=ni50
F*x*i
1 0,014 0,176 (0,014;0,176) 25 0,5 0,5
2 0,176 0,338 (0,176; 0,338) 10 0,2 0,7
3 0,338 0,5 (0,338;0,5) 8 0,16 0,86
4 0,5 0,662 (0,5;0,662) 4 0,08 0,94
5 0,662 1,151 (0,662;0,151) 3 0,06 1
По данному ряду построим гистограмму относительных частот fi (рис. 1).
Рисунок 1 – Гистограмма относительных частот
Запишем эмпирическую функцию распределения по интервальному статистическому ряду и построим ее график (рис.2).
F*x*i=0, при x*i≤0,014 0,5, при 0,014<x*i≤0,176 0,7, при 0,176<x*i≤0,3380,86, при 0,338<x*i≤0,50,94, при 0,5<x*i≤0,6621, при x*i>0,662. (3)
Рисунок 2 – Эмпирическая функция распределения по интервальному статистическому ряду
Составим статистический ряд для выборки из таблицы 1 (таблица 4).
xi
ni
nixi
fi
F*i
xi
ni
nixi
fi
F*i
0,014 1 0,014 0,02 0,02 0,058 1 0,058 0,02 0,26
0,019 1 0,019 0,02 0,04 0,059 1 0,059 0,02 0,28
0,022 1 0,022 0,02 0,06 0,067 1 0,067 0,02 0,3
0,026 2 0,052 0,04 0,1 0,078 1 0,078 0,02 0,32
0,029 2 0,058 0,04 0,14 0,081 1 0,081 0,02 0,34
0,031 1 0,031 0,02 0,16 0,097 1 0,097 0,02 0,36
0,043 1 0,043 0,02 0,18 0,102 1 0,102 0,02 0,38
0,045 1 0,045 0,02 0,2 0,104 1 0,104 0,02 0,4
0,051 1 0,051 0,02 0,22 0,108 1 0,108 0,02 0,42
0,057 1 0,057 0,02 0,24 0,114 1 0,114 0,02 0,44
Таблица 4. Статистический ряд
Окончание таблицы 4
xi
ni
nixi
fi
Fi
xi
ni
nixi
fi
Fi
xi
ni
nixi
fi
Fi
0,118 1 0,118 0,02 0,46 0,33 1 0,33 0,02 0,68 0,543 1 0,543 0,02 0,88
0,152 2 0,304 0,04 0,5 0,334 1 0,334 0,02 0,7 0,583 1 0,583 0,02 0,9
0,177 1 0,177 0,02 0,52 0,34 1 0,34 0,02 0,72 0,599 1 0,599 0,02 0,92
0,191 1 0,191 0,02 0,54 0,363 1 0,363 0,02 0,74 0,625 1 0,625 0,02 0,94
0,235 1 0,235 0,02 0,56 0,402 1 0,402 0,02 0,76 0,824 1 0,824 0,02 0,96
0,242 1 0,242 0,02 0,58 0,404 1 0,404 0,02 0,78 1,127 1 1,127 0,02 0,98
0,265 1 0,265 0,02 0,6 0,414 1 0,414 0,02 0,8 1,151 1 1,151 0,02 1
0,28 1 0,28 0,02 0,62 0,44 1 0,44 0,02 0,82 nixi
13,067
0,289 1 0,289 0,02 0,64 0,449 1 0,449 0,02 0,84
0,3 1 0,3 0,02 0,66 0,478 1 0,478 0,02 0,86
По данному статистическому ряду построим эмпирическую функцию распределения (рис
. 3).
Рисунок 3 – Эмпирическая функция распределения по сгруппированному статистическому ряду
2. Исходя из вида гистограммы (рис.1) и эмпирической функции распределения (рис. 2-3), можно выдвинуть гипотезу об экспоненциальном распределении выборки:
Fx=0, x<01-e-λx, x≥0. (4)
Чтобы выдвинуть простую гипотезу, необходимо оценить неизвестный параметр λ этого закона. В качестве оценки λ* используем оценку методом моментов (в пунктах 4-5 будет получена эта оценка):
λ*=1x=10,26134≈3,826, (5)
где x=1Nnixi=150∙13,067≈0,26134 (см. табл. 4). (6)
Выдвинем простую гипотезу: H0={Fx=F1(x)=1-e-3,826x, x≥0}
против сложной альтернативы H1= Fx≠F1(x).
3. Проверим выдвинутую гипотезу с помощью критерия Колмогорова и критерия Пирсона для уровня значимости α=0,05.
Найдем значение статистики Колмогорова ρ(X), определяемое формулой:
ρX=Nmaxi=1…50F1x*i-2i-12N+12N. (7)
Для удобства вычислений составим таблицу значений выражений из этой формулы (табл. 5).
Таблица 5. Статистика Колмогорова
i
x*i
2i-1100
F1x*i
F1x*i-2i-12N
i
x*i
2i-1100
F1x*i
F1x*i-2i-12N
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 0,014 0,01 0,052 0,042 21 0,108 0,41 0,338 -0,072
2 0,019 0,03 0,070 0,040 22 0,114 0,43 0,353 -0,077
3 0,022 0,05 0,081 0,031 23 0,118 0,45 0,363 -0,087
4 0,026 0,07 0,095 0,025 24 0,152 0,47 0,441 -0,029
5 0,026 0,09 0,095 0,005 25 0,152 0,49 0,441 -0,049
6 0,029 0,11 0,105 -0,005 26 0,177 0,51 0,492 -0,018
7 0,029 0,13 0,105 -0,025 27 0,191 0,53 0,518 -0,012
8 0,031 0,15 0,112 -0,038 28 0,235 0,55 0,593 0,043
9 0,043 0,17 0,152 -0,018 29 0,242 0,57 0,604 0,034
10 0,045 0,19 0,158 -0,032 30 0,265 0,59 0,637 0,047
11 0,051 0,21 0,177 -0,033 31 0,28 0,61 0,657 0,047
12 0,057 0,23 0,196 -0,034 32 0,289 0,63 0,669 0,039
13 0,058 0,25 0,199 -0,051 33 0,3 0,65 0,683 0,033
14 0,059 0,27 0,202 -0,068 34 0,33 0,67 0,717 0,047
15 0,067 0,29 0,226 -0,064 35 0,334 0,69 0,721 0,031
16 0,078 0,31 0,258 -0,052 36 0,34 0,71 0,728 0,018
17 0,081 0,33 0,266 -0,064 37 0,363 0,73 0,751 0,021
18 0,097 0,35 0,310 -0,040 38 0,402 0,75 0,785 0,035
19 0,102 0,37 0,323 -0,047 39 0,404 0,77 0,787 0,017
20 0,104 0,39 0,328 -0,062 40 0,414 0,79 0,795 0,005
Продолжение таблицы 5
1 2 3 4 5
41 0,44 0,81 0,814 0,004
42 0,449 0,83 0,821 -0,009
43 0,478 0,85 0,839 -0,011
44 0,543 0,87 0,875 0,005
45 0,583 0,89 0,893 0,003
46 0,599 0,91 0,899 -0,011
47 0,625 0,93 0,908 -0,022
48 0,824 0,95 0,957 0,007
49 1,127 0,97 0,987 0,017
50 1,151 0,99 0,988 -0,002
Из таблицы 6 имеем:
maxi=1…50F1x*i-2i-12N=0,087;ρX=500,087+0,01≈0,686.
Квантиль уровня 0,95 распределения Колмогорова равна c=1,36
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
