Дана выборка объема 50 из неизвестного распределения

Упорядочим данную выборку в Excel и разобьем ее на интервалы, количество которых найдем по формуле Стерджеса:
n=1+3,322lgN≈1+3,322lg50≈6,6, принимаем n=7. (1)
Определим длину интервала:
h=Rn=1,1376≈0,19, где R=1,137-размах выборки. (2)
Составим интервальный ряд (таблица 2).
Таблица 2. Интервальный ряд
№ интервала xi
xi+1
ni
1 0,014 0,176 25
2 0,176 0,338 10
3 0,338 0,5 8
4 0,5 0,662 4
5 0,662 0,824 1
6 0,824 0,986 0
7 0,986 1,151 2
Последние три интервала (5-6) рекомендуется объединить в один.
Таблица 3. Уточненный интервальный статистический ряд
№ интервала xi
xi
xi;xi+1
ni
fi=ni50
F*x*i
1 0,014 0,176 (0,014;0,176) 25 0,5 0,5
2 0,176 0,338 (0,176; 0,338) 10 0,2 0,7
3 0,338 0,5 (0,338;0,5) 8 0,16 0,86
4 0,5 0,662 (0,5;0,662) 4 0,08 0,94
5 0,662 1,151 (0,662;0,151) 3 0,06 1
По данному ряду построим гистограмму относительных частот fi (рис. 1).
Рисунок 1 – Гистограмма относительных частот
Запишем эмпирическую функцию распределения по интервальному статистическому ряду и построим ее график (рис.2).
F*x*i=0, при x*i≤0,014 0,5, при 0,014<x*i≤0,176 0,7, при 0,176<x*i≤0,3380,86, при 0,338<x*i≤0,50,94, при 0,5<x*i≤0,6621, при x*i>0,662. (3)
Рисунок 2 – Эмпирическая функция распределения по интервальному статистическому ряду
Составим статистический ряд для выборки из таблицы 1 (таблица 4).
xi
ni
nixi
fi
F*i
xi
ni
nixi
fi
F*i
0,014 1 0,014 0,02 0,02 0,058 1 0,058 0,02 0,26
0,019 1 0,019 0,02 0,04 0,059 1 0,059 0,02 0,28
0,022 1 0,022 0,02 0,06 0,067 1 0,067 0,02 0,3
0,026 2 0,052 0,04 0,1 0,078 1 0,078 0,02 0,32
0,029 2 0,058 0,04 0,14 0,081 1 0,081 0,02 0,34
0,031 1 0,031 0,02 0,16 0,097 1 0,097 0,02 0,36
0,043 1 0,043 0,02 0,18 0,102 1 0,102 0,02 0,38
0,045 1 0,045 0,02 0,2 0,104 1 0,104 0,02 0,4
0,051 1 0,051 0,02 0,22 0,108 1 0,108 0,02 0,42
0,057 1 0,057 0,02 0,24 0,114 1 0,114 0,02 0,44
Таблица 4. Статистический ряд
Окончание таблицы 4
xi
ni
nixi
fi
Fi
xi
ni
nixi
fi
Fi
xi
ni
nixi
fi
Fi
0,118 1 0,118 0,02 0,46 0,33 1 0,33 0,02 0,68 0,543 1 0,543 0,02 0,88
0,152 2 0,304 0,04 0,5 0,334 1 0,334 0,02 0,7 0,583 1 0,583 0,02 0,9
0,177 1 0,177 0,02 0,52 0,34 1 0,34 0,02 0,72 0,599 1 0,599 0,02 0,92
0,191 1 0,191 0,02 0,54 0,363 1 0,363 0,02 0,74 0,625 1 0,625 0,02 0,94
0,235 1 0,235 0,02 0,56 0,402 1 0,402 0,02 0,76 0,824 1 0,824 0,02 0,96
0,242 1 0,242 0,02 0,58 0,404 1 0,404 0,02 0,78 1,127 1 1,127 0,02 0,98
0,265 1 0,265 0,02 0,6 0,414 1 0,414 0,02 0,8 1,151 1 1,151 0,02 1
0,28 1 0,28 0,02 0,62 0,44 1 0,44 0,02 0,82 nixi
13,067
0,289 1 0,289 0,02 0,64 0,449 1 0,449 0,02 0,84
0,3 1 0,3 0,02 0,66 0,478 1 0,478 0,02 0,86
По данному статистическому ряду построим эмпирическую функцию распределения (рис . 3).
Рисунок 3 – Эмпирическая функция распределения по сгруппированному статистическому ряду
2. Исходя из вида гистограммы (рис.1) и эмпирической функции распределения (рис. 2-3), можно выдвинуть гипотезу об экспоненциальном распределении выборки:
Fx=0, x<01-e-λx, x≥0. (4)
Чтобы выдвинуть простую гипотезу, необходимо оценить неизвестный параметр λ этого закона. В качестве оценки λ* используем оценку методом моментов (в пунктах 4-5 будет получена эта оценка):
λ*=1x=10,26134≈3,826, (5)
где x=1Nnixi=150∙13,067≈0,26134 (см. табл. 4). (6)
Выдвинем простую гипотезу: H0={Fx=F1(x)=1-e-3,826x, x≥0}
против сложной альтернативы H1= Fx≠F1(x).
3. Проверим выдвинутую гипотезу с помощью критерия Колмогорова и критерия Пирсона для уровня значимости α=0,05.
Найдем значение статистики Колмогорова ρ(X), определяемое формулой:
ρX=Nmaxi=1…50F1x*i-2i-12N+12N. (7)
Для удобства вычислений составим таблицу значений выражений из этой формулы (табл. 5).
Таблица 5. Статистика Колмогорова
i
x*i
2i-1100
F1x*i
F1x*i-2i-12N
i
x*i
2i-1100
F1x*i
F1x*i-2i-12N
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 0,014 0,01 0,052 0,042 21 0,108 0,41 0,338 -0,072
2 0,019 0,03 0,070 0,040 22 0,114 0,43 0,353 -0,077
3 0,022 0,05 0,081 0,031 23 0,118 0,45 0,363 -0,087
4 0,026 0,07 0,095 0,025 24 0,152 0,47 0,441 -0,029
5 0,026 0,09 0,095 0,005 25 0,152 0,49 0,441 -0,049
6 0,029 0,11 0,105 -0,005 26 0,177 0,51 0,492 -0,018
7 0,029 0,13 0,105 -0,025 27 0,191 0,53 0,518 -0,012
8 0,031 0,15 0,112 -0,038 28 0,235 0,55 0,593 0,043
9 0,043 0,17 0,152 -0,018 29 0,242 0,57 0,604 0,034
10 0,045 0,19 0,158 -0,032 30 0,265 0,59 0,637 0,047
11 0,051 0,21 0,177 -0,033 31 0,28 0,61 0,657 0,047
12 0,057 0,23 0,196 -0,034 32 0,289 0,63 0,669 0,039
13 0,058 0,25 0,199 -0,051 33 0,3 0,65 0,683 0,033
14 0,059 0,27 0,202 -0,068 34 0,33 0,67 0,717 0,047
15 0,067 0,29 0,226 -0,064 35 0,334 0,69 0,721 0,031
16 0,078 0,31 0,258 -0,052 36 0,34 0,71 0,728 0,018
17 0,081 0,33 0,266 -0,064 37 0,363 0,73 0,751 0,021
18 0,097 0,35 0,310 -0,040 38 0,402 0,75 0,785 0,035
19 0,102 0,37 0,323 -0,047 39 0,404 0,77 0,787 0,017
20 0,104 0,39 0,328 -0,062 40 0,414 0,79 0,795 0,005
Продолжение таблицы 5
1 2 3 4 5
41 0,44 0,81 0,814 0,004
42 0,449 0,83 0,821 -0,009
43 0,478 0,85 0,839 -0,011
44 0,543 0,87 0,875 0,005
45 0,583 0,89 0,893 0,003
46 0,599 0,91 0,899 -0,011
47 0,625 0,93 0,908 -0,022
48 0,824 0,95 0,957 0,007
49 1,127 0,97 0,987 0,017
50 1,151 0,99 0,988 -0,002
Из таблицы 6 имеем:
maxi=1…50F1x*i-2i-12N=0,087;ρX=500,087+0,01≈0,686.
Квантиль уровня 0,95 распределения Колмогорова равна c=1,36