Дана плотность вероятностей случайной величины X

Неизвестное значение параметра a, найдем, исходя из того, что:
-∞∞φ(x)dx=1
-∞∞φxdx=a0π4sin2xdx=-a2cos2xπ40=-a2cosπ2+a2cos0=a2
a2=1 => a=2
φx=2sin2x, x∈(0;π4]0, x∉(0;π4]
Математическое ожидание найдем по формуле:
MX=-∞∞x∙φxdx=20π4xsin2xdx=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x dv=sin2xdx
du=dx v=-12cos2x
=-xcos2xπ40+0π4cos2xdx=0π4cos2xdx=12sin2xπ40=12sinπ4=12
Дисперсию найдем по формуле:
DX=-∞∞x2∙φxdx-M2X=20π4x2sin2xdx-14=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x2 dv=sin2xdx
du=2xdx v=-12cos2x
=-x2cos2xπ40+20π4xcos2xdx-14=20π4xcos2xdx-14=
Применим формулу интегрирования по частям еще раз:
u=x dv=cos2xdx
du=dx v=12sin2x
=xsin2xπ40-0π4sin2xdx-14=π4+12cos2xπ40-14=π4-12-14=π-34
СКО:
σX=DX=π-34≈0,188