Решить дифференциальные уравнения x4y''+x3y'=4

Данное уравнение второго порядка не содержит функцию y(x) в явном виде.
Воспользуемся подстановкой:
y'=zx, y''=z'x.
x4z'+x3z=4
Разделим уравнение на x4:
z'+1xz=4x4.
Получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка . Выполним замену:
z=UV, z'=U'V+UV'
U'V+UV'+1xUV=4x4
V'+1xV=0U'V=4x4.
Решаем первое уравнение системы:
V'+1xV=0
dVdx=-1xV⟹dVV=-dxx⟹lnV=-lnx⟹V=1x.
Подставляем функцию V=1x во второе уравнение системы:
U'∙1x=4x4⟹U'=4x3⟹Ux=4x3dx=-2x2+C1.
Тогда
z=UV=-2x2+C1∙1x=-2x3+C1x.
Делаем обратную замену:
z=y'=-2x3+C1x⟹yx=-2x3+C1xdx=1x2+C1lnx+C2.
Ответ: yx=1x2+C1lnx+C2.