Вывод уравнения колебаний струны

Струной в акустике называют однородную тонкую гибкую упругую нить. Примерами могут служить сильно натянутый шнур или трос, струны гитары и других инструментов. Струна может свободно изгибаться, не оказывая сопротивления изменению ее формы. В случая натяжения силы направлены по касательной к ее профилю.
Пусть в положении равновесия струна расположена вдоль оси Ox. Положим ux,t – отклонение от положения равновесия точек струны с абсциссой x в момент времени t. Все точки струны движутся перпендикулярно оси Ox. Тогда график функции ux,t при фиксированном t представляет собой форму струны в данный момент времени.
При малых поперечных колебаниях струны смещения u и производные ∂u∂x достаточно малы, так что их квадратами и произведениями можно пренебречь. Тогда будут справедливы соотношения:
∂u∂x=tgα≈sinα≈α,
1+∂u∂x2≈1,
cosα=11+tg2α≈1.
αx - угол между касательной к струне и горизонтальной осью Ox в некоторый момент времени. На рисунке α1 – угол в точке x1, α2 – угол в точке x2.
Тогда для длины выделенного участка (при изгибе) будем иметь:L'=x1x21+∂u∂x2dx≈x1x2dx=x2-x1=L.Таким образом, L'≈L, то есть удлинением участков струны при ее изгибе можно пренебречь, и, по закону Гука, натяжение T в каждой точке будет оставаться неизменным во времени.
Получили, что натяжение будет зависеть только от x. Участок струны не должен двигаться вдоль оси абсцисс, поэтому для участка x1xx2Tx1cosα1-Tx2cosα2=0,
следовательно, Tx1=Tx2, то есть натяжение не зависит от x. Таким образом, натяжение не зависит ни от точки приложения x, ни от времени t, то есть T=T0=const.
Опишем динамику движения струны с помощью второго закона Ньютона:
dPdt=F,
где P - импульс системы, F - равнодействующая приложенных к системе сил

. В качестве механической системы будем рассматривать отрезок струны x1xx2. Так как движение происходит перпендикулярно оси Ox, запишем уравнение в проекциях на ось Oy.
Проекция суммарного импульса системы:
P=x1x2ρ∂u∂tdx,
ρ-линейная плотность струны.
dPdt=ddtx1x2ρ∂u∂tdx=x1x2ρ∂2u∂t2dx.
Если на струну действует вынуждающая сила F, то F=F1+F2, где
F1 - сила натяжения на концах участка, F2 – суммарная вынуждающая сила.
В проекциях на ось Oy будем иметь:
F1=T0sinα1-T0sinα2≈T0∂u∂xx=x2-∂u∂xx=x1=T0x1x2∂2u∂x2dx.
В силу малости колебаний
sinα≈∂u∂x,
поэтому в уравнении заменили T0sinα1-T0sinα2 на приближенное значение:
T0∂u∂xx=x2-∂u∂xx=x1.
В силу теоремы Лагранжа
T0∂u∂xx=x2-∂u∂xx=x1=T0x1x2∂2u∂x2dx.
Для вынуждающей силы будем иметь:
F2=x1x2fx,tdx,
fx,t – линейная плотность силы.
Таким образом, получили интегральное равенство:
x1x2ρ∂2u∂t2-T0∂2u∂x2-fx,tdx=0.
Ввиду произвольности выбора участка струны и независимости результата от области интегрирования, получим, что подынтегральное выражение в квадратных скобках тоже должно быть равно нулю:
ρ∂2u∂t2=T0∂2u∂x2+fx,t.
Будем рассматривать ситуацию, когда вынуждающая сила отсутствует, то есть fx,t=0. Такие колебания называют свободными.
∂2u∂t2=T0ρ∂2u∂x2,
∂2u∂t2=a2∂2u∂x2, где
a=T0ρ,
a есть скорость распространения волн на струне.
Таким образом, для описания малых поперечных колебаний струны мы получили уравнение в частных производных