Метод Фурье для задачи о колебаниях стержня

ES∂u∂xx=l=0,
∂u∂xx=l=0.
На левом конце стержень закреплен, поэтому
ux=0=0.Колебания возникают в результате начальных смещений (стержень был растянут или сжат), а также за счет скорости в начальный момент. Поэтому зададим начальные условия:
ux=0=φx, ∂u∂tt=0=ψx.
Первое условие φx представляет собой начальное смещение, второе ψx - начальную скорость точек стержня. Таким образом, постановка задачи c учетом краевых условий имеет вид:
∂2u∂t2=a2∂2u∂x2, 0≤x≤l,
ux=0=0, ∂u∂xx=l=0,
ux=0=φx, ∂u∂tt=0=ψx.
Будем решать задачу методом разделения переменных (методом Фурье). Как и в случае со струной, решение ux,t можно найти в виде произведения двух функций:
ux,t=XxTt,
первая из которых зависит только от пространственной переменной x, а вторая – от временной переменной t. Подставляя данную форму решения в уравнение и разделяя переменные, получим:
T''(t)a2T(t)= X''xXx= -λ2.
T''t+ a2λ2Tt= 0,X''x+λ2Xx=0.
Для функции Xx получим задачу Штурма-Лиувилля:
X''x+λ2Xx=0X0= X'l=0 .
Ее граничные условия X0= X'l=0 следуют из граничных условий для функции ux,t:
ux=0=0, ∂u∂xx=l=0.
Решение задачи Штурма-Лиувилля:
Xx=C1cosλx+C2sinλx,
X0=C1=0, X'l=C2λcosλl=0,
C2 не может быть равным нулю (в этом случае мы получаем тривиальное решение Xx), значит,
λcosλl=0, λl=π2+kπ, k=0,1,2,…
λk=π+2kπ2l=π2k+12l.Таким образом, мы получили собственные числа задачи λk2

. Каждому λk соответствует собственная функция:
Xkx=sin(2k+1)πx2l.Найдем теперь решения дифференциального уравнения
T''t+ a2λ2Tt= 0.
Подставляя в это уравнение найденные λk, получим решение:
Tkt=akcos(2k+1)πat2l+bksin(2k+1)πat2l.
Подставим найденные функции Xkx и Tkt в разложение
ux,t=XxTt
и получим частное решение ukx,t, соответствующее числу λk:
ukx,t=akcos(2k+1)πat2l+ bksin(2k+1)πat2lsin(2k+1)πx2l.Тогда общее решение ux,t записывается в виде ряда:
ux,t= k=0∞akcos(2k+1)πat2l+ bksin(2k+1)πat2lsin(2k+1)πx2l.
Коэффициенты ak и bk определяются из начальных условий.
ak=2l0lφxsin(2k+1)πx2ldx,
bk= 4(2k+1)πa0lψxsin(2k+1)πx2ldx.
Примеры задач
Задача 1
Струна длиной l закреплена на концах и в начальный момент имеет профиль, задаваемый уравнением:
ux,0=2sin5πxl=φx.
Начальная скорость всех точек:∂u(x,0)∂t=3sin4πxl=ψx.Определить закон движения струны ux,t.Решение