Метод Фурье для задачи о колебаниях прямоугольной мембраны

В состоянии покоя мембрана имеет форму прямоугольника со сторонами l1 и l2 и закреплена по периметру. Опишем процесс малых поперечных колебаний такой мембраны, вызванных начальным отклонением и начальной скоростью. Смещение точек мембраны будет определяться функцией трех переменных ux,y,t.
Уравнение колебаний для мембраны:∂2u∂t2=a2∂2u∂x2+∂2u∂y2.Начальные условия: ut=0=φx,y, ∂u∂tt=0=ψx,y.Первое условие φx,y представляет собой начальное отклонение, второе ψx,y – скорость, сообщенную мембране в начальный момент. Граничные условия на контуре:
ux=0= ux=l1=0,uy=0= uy=l2=0.Эти условия означают, что мембрана закреплена на границах прямоугольника.
Таким образом, постановка задачи имеет вид:∂2u∂t2=a2∂2u∂x2+∂2u∂y2,0≤x≤l1, 0≤y≤l2, ut=0=φx,y, ∂u∂tt=0=ψx,y,ux=0= ux=l1=0, uy=0= uy=l2=0.
Будем решать задачу методом Фурье, который заключается в разделении переменных и сведении исходной задачи к нескольким задачам, в каждой из которых искомая функция зависит от одной переменной.
Будем искать решение задачи ux,y,tв виде произведения трех функций:ux,y,t=XxYyTt,каждая из которых зависит только от одной переменной.
Продифференцируем дважды полученное выражение по каждой переменной и подставим в волновое уравнение:
∂2u∂x2=X''YT, ∂2u∂x2=XY''T, ∂2u∂t2=XYT'' ,XYT''=a2X''YT+a2XY''T.Разделим на a2TXY:
1a2T''T=X''X+Y''Y.Получили, что левая часть равенства зависит только от t, а правая от пространственных переменных x и y

. Это равенство может быть соблюдено лишь в том случае, если ни левая, ни правая части не зависят от переменной, то есть равны константе:
1a2T''T=X''X+Y''Y=сonst.Пусть 1a2T''T=X''X+Y''Y=-ω2.Так как
X''X+Y''Y=сonst,то каждое из слагаемых должно быть равно некоторой постоянной:
X''X=-λ2, Y''Y=-μ2.ω2=λ2+μ2.
Учитывая нулевые граничные условия, получаем две задачи Штурма-Лиувилля для отыскания функций Xx и Yy:
X''x+λ2Xx=0X0=Xl1=0 ; Y''y+μ2Yy=0Y0= Yl2=0 ;и задачу для функции Tt:T''t+ a2λ2+μ2Tt= 0.Как было показано в случае со струной, общие решения задачи Штурма-Лиувилля для Xx и Yy имеют вид:Xx=C1cosλx+C2sinλx,Yy=D1cosμx+D2sinμx.Подставим краевые условия X0=Xl1=0 в общее решение первой задачи:X0=C1cos0+C2sin0=0=C1=0.Xl1=C1cosλl1+C2sinλl1=0=C2sinλl1=0.Чтобы получить ненулевое решение, нужно, чтобы C2 не равнялось нулю. Тогда sinλl1=0и λl1=πk, k-целое число, λk=kπl1.Аналогично, для μ из краевых условий Y0=Yl2=0 получаемμn=nπl2.Мы определили собственные числа λk2 и μn2, соответствующие номерам k и n, теперь запишем собственные функции для каждого собственного числа:Xkx=sinλkx=sinπkxl1Yny=sinμny=sinπnyl2Уравнение для Tt примет вид:
T''t+ a2π2k2l12+n2l22Tt=0.Его решения:
Tknt=akncosωknt+bknsinωknt,ωkn=aλ2+μ2=aπk2l12+n2l22 -собственные частоты колебаний мембраны.Подставляя найденные функции в произведениеuknx,y,t=XkxYnyTknt,для каждой пары номеров k и n будем иметь решение:uknx,y,t=akncosωknt+bknsinωkntsinπkxl1sinπnyl2,
k и n пробегают целые положительные значения 1, 2, 3, … независимо друг от друга.
Суперпозиция частных решений образует общее решение