Влияние на показания часов гравитационного потенциала

Рассмотрим неинерциальную систему отсчета Σ, которая движется с постоянным ускорением вдоль оси X некоторой инерциальной системы отсчета S (причем оси системы отсчета Σ параллельны осям системы S) [12]. Будем считать, что часы и масштаб в системе отсчета Σ в покое идентичны часам и масштабу в системе S.
В каждый отдельный момент времени можно ввести такую инерциальную систему отсчета S', что ее оси координата совпадут с осями координат системы отсчета Σ. Пусть в системе S' в момент времени t' происходит некоторое событие с координатами:
x'=ξ, y'=η, z'=ζ.
Пусть в системе отсчета Σ показания часов были установлены в тот момент, когда данная система мгновенно покоилась относительно системы отсчета S в момент времени t=0. Тогда совокупность показаний всех таких часов имеет смысл, так называемого, местного времени системы отсчета Σ. Такое местное время не является в чистом виде временем в системе отсчета Σ, поскольку события, происходящие в разных точках данной системы, с точки зрения инерциальной системы отсчета S, из которой происходит наблюдения, не являются одновременными [12]. Так, например, пара часов в Σ, синхронные относительно системы S, не потеряют свою синхронность в S со временем, но эта же пара часов не будет синхронна в мгновенной системе отсчета S' (т.е

. эти часы не синхронны в Σ). В связи с этим обозначим собственное время σ и введем понятие времени системы отсчета Σ – τ – совокупность показаний всех часов в начале координат данной системы отсчета.
Согласно преобразованиям Лоренца, два события в системе S' (а значит и в Σ) одновременны, если выполнено условие:
t1-vc2x1=t2-vc2x2
(3.1)
Если ограничиться малыми промежутками времени, то можно ограничиться рассмотрением линейных по v и τ членов, тогда:
x2-x1=x2'-x1'=ξ2-ξ1t1=σ1, t2=σ2, v=γt=γτ.
(3.2)
Подстановка (3.2) в (3.1) дает:
σ2-σ1=γτc2ξ2-ξ1
(3.3)
При этом, если первое событие произошло в момент времени σ1=τ в точке ξ1=0, то (3.3) принимает вид:
σ=τγξc2+1
(3.4)
В выражении (3.4) опущены индексы, относящиеся ко второму событию.
Выражение (3.4) имеет ограниченную применимость, т.к. не выполняется для произвольных ξ. Тот факт, что выбор начала координат не должен влиять на вид соотношения для σ, наводит на мысль, что точное соотношение для него имеет вид [12]:
σ=τexpγξc2.
(3.5)
Однако, ограничимся рассмотрением (3.4), которая применима в случае действия в рассматриваемой системе координат однородного гравитационного поля с потенциалом Ф=γξ