Понятие поверхностного интеграла первого рода

Понятие поверхностного интеграла первого рода .doc

Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам,а также промокод на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.

i=1nfPi∆σi=i=1nfxi,yi,zi∆σi. (1)
Обозначим через ∆ наибольший из диаметров частичных областей σi:
∆=max1≤i≤ndσi. (2)
Рисунок 4 – Разбиение поверхности σ на частичные области в случае поверхностного интеграла первого рода
Поверхностным интегралом первого рода от функции fP по поверхности σ называется предел интегральных сумм при ∆→0, если это предел существует и не зависит от способа разбиения поверхности σ на частичные области σi, и не зависит от выбора в каждой из них точки Pi∈σi:
σfPdσ=lim∆→0i=1nfPi∆σi. (3)
или
σfx,y,zdσ=lim∆→0i=1nfxi,yi,zi∆σi. (4)
Теперь покажем, что вычисление интеграла первого рода по поверхности приводит к вычислению двойного интеграла по области.
Предположим, что поверхность σ такова, что она с любой прямой, параллельной оси Oz, пересекается не более чем в одной точке

Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы

. Тогда её уравнение можно записать в виде z=zx, y.
Итак, вычисление интеграла первого рода по поверхности σ приводит к вычислению двойного интеграла по области D. Пусть область D является проекцией поверхности на плоскость Oxy.
Возьмем элемент площади dx dy области D и проектирующийся в него элемент площади dσ поверхности σ. Проведем нормаль к площадке dσ так, чтобы она образовывала острый угол γ с осью Oz. Будем считать, что в пределах площадки направление нормали не меняется. Тогда будет верно равенство cosγdσ=dxdy.
Так как нормаль к поверхности, заданной уравнением z=zx, y, имеет проекции zx', zy' и -1, то косинус острого угла γ между нормалью и осью Oz равен cosγ=1zx'2+zy'2+1