Площадь поверхности тел вращения в случае задания кривой в декартовых координатах
Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам,а также
промокод
на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.
Рассмотрим кривую AB, которая в прямоугольных координатах на плоскости, задана уравнением y=fx, вращением которой вокруг координатной оси Ox образовано тело вращения. Тогда, если fx непрерывно дифференцируема и неотрицательна на отрезке a;b, то поверхность имеет площадь S, которую можно вычислить по формуле:
S=2πabfx1+f'x2 dx.(9)
Доказательство.
Возьмём произвольное разбиение отрезка a;b: τ=x0, x1,…,xn, удовлетворяющее условию a=x0x1…xn=b.
Обозначим через λ наибольшую из длин отрезков разбиение:
λ=maxk=1,2,…,n∆xk, где ∆xk=xk-xk-1 (10)
Точкам разбиения на кривой AB соответствуют точки A=A0x0;fx0, A1x1;fx1,…,Anxn;fxn=B. Заменим дугу Ak-1Ak отрезком Ak-1Ak, тогда часть поверхности вращения Sk, соответствующую дуге Ak-1Ak, приближенно можно считать боковой поверхности усеченного конуса, соответствующего отрезку Ak-1Ak, k=1,2,…,n. Из геометрии известно, что площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:
Sус.к.=2π∙r+R2∙l, (11)
где r – радиус меньшего основания конуса;
R – радиус большего основания конуса;
l – длина образующей.
Следовательно,
Sk=2π∙rk-1+rk2∙∆lk, (12)
где rk-1=fxk-1;
rk=fxk;
∆lk – длина отрезка Ak-1Ak.
По условию функция fx непрерывно дифференцируема на a;b, а значит, и на каждом отрезке xk-1;xk, поэтому, согласно свойствам непрерывных функций, множество значений функции заполняет весь отрезок с концами fxk-1 и fxk, найдется точка ξk∈xk-1;xk такая, что fxk-1+fxk2=fξk, k=1,2,…,n.
Длину отрезка Ak-1Ak вычислим по формуле ∆lk=∆xk1+f'ck2.
Тогда
Sk=k=1nSk=k=1n2π∙fξk∙1+f'ck2∙∆xk
Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы
. (13)
Заметим, что площадь поверхности вращения будет вычислена тем точнее, чем более мелкое разбиение отрезка a;b будет взято, поэтому устремим параметр λ к нулю. Так как ξk и ck принадлежат одному и тому же отрезку разбиения xk-1;xk, то при заданных условиях эти точки неразличимы между собой, следовательно,
S=limλ→0k=1n2π∙fξk∙1+f'ck2∙∆xk. (14)
или, что то же самое,
S=2πabfx1+f'x2 dx. (15)
Таким образом, получаем необходимую формулу, которую и требовалось доказать [8, с. 36].
Замечание. Если вращение кривой AB происходит вокруг оси Oy, то площадь полученной поверхности можно вычислить по формуле:
S=2πcdxy1+x'y2 dy. (16)
где функция xy является взаимно обратной для функции yx, которая задаёт кривую AB, c=Infa≤x≤byx и d=Supa≤x≤byx.
Пример 2. (№ 416.3, [5, с. 491])
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой y=x22, отсеченной прямой y=1,5 , вокруг оси Oy.
Решение.
Сделаем чертеж параболы y=x22 и прямой y=1,5, представленный на рисунке 6
50% курсовой работы недоступно для прочтения
Закажи написание курсовой работы по выбранной теме всего за пару кликов. Персональная работа в кратчайшее время!
