Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений и их классификация

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) – называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=yx от этой переменной и ее производные до n-го порядка включительно [1]:
fx, y,y',y'',…yn=0. (1)
Порядком дифференциального уравнения n - порядок старшей производной данного соотношения.
Например, 2y'''-lnxy'+y=0- ОДУ третьего порядка.
Функция, имеющая соответствующие производные и обращающая уравнение (1) в тождество, называется решением данного уравнения.
Общим решением (или общим интегралом) ОДУ называется соотношение:
Фx, y,C1,C2,…Cn=0. (2)
где C1,C2,…Cn- произвольные константы (постоянные) интегрирования, которые появляются при интегрировании (нахождении решения) дифференциального уравнения, если каждая функция y=yx, определяемая соотношением (2), и имеющая непрерывные производные y',y'',…yn до n-го порядка включительно, является решением данного дифференциального уравнения [1]. График данной функции называется интегральной кривой.
Частное решение ОДУ получается из общего решения (2) при подстановке в него конкретных значений констант интегрирования C1,C2,…Cn.
Чтобы выделить одно вполне определенное конкретное решение, нужно задать дополнительные условия, вытекающие из конкретной задачи. В простейшем случае ими являются начальные условия, состоящие в том, что при некотором значении x=x0 задаются значения искомой функции y и ее последовательных производных до n-1-го порядка включительно [9]

. Тогда мы переходим к задаче Коши: найти решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее заданным начальным условиям:
yx0=y0; y'x0=y'0;…yn-1x0=y0n-1, (3)
где x0,y0,y'0;…y0n-1- некоторые числа. При начальных условиях задача Коши имеет единственное решение. Геометрически задача Коши состоит в нахождении интегральной кривой y=yx, проходящей через точку M0x0,y0.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:
fx, y,y'=0. (4)
Например, 2xy'+y=0- ОДУ первого порядка.
Если в уравнении (4) y' представить в виде: y'=dydx, то его можно записать в виде:
Px, ydx+Qx, ydy=0. (5)
Если данное дифференциальное уравнение (4) возможно представить в виде y'=fx, y, (5), где f- некоторая известная функция, то говорят, что уравнение разрешимо относительно производной. В противном случае уравнение неразрешимо относительно производной.
2xy'+y=0⇒y'=-y2x-разрешенное относительно y'. [6]
Пусть в некоторой области G плоскости Oxy задано дифференциальное уравнение первого порядка y'=fx, y,. Это уравнение в каждой точке Mx, y, принадлежащей области G, определяет с точностью до поворота на 1800, направление касательной к искомой интегральной кривой, проходящей через точку M. Геометрически направление изображается небольшим отрезком прямой, проходящем через точку M под углом α к оси Ox так, что tgα=fx, y, (рис.1).
Рисунок 1. Интегральные кривые
Интегральными кривыми дифференциального уравнения (5) являются только те линии, которые в каждой своей точке касаются соответствующего направления [8].
В общем случае через каждую точку проходит не одна интегральная кривая, а больше, вплоть до бесконечности