Логико- математический анализ темы: Производная и ее применение при решении различных задач
Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам,а также
промокод
на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.
Введение
Понятие «производная» является одним из фундаментальных понятий математического анализа. Но в то же время в школьном курсе математики данная тема является одной из наиболее сложных тем для учащихся. Связано это с тем, что ученики не могут себе представить производную, она мыслится довольно абстрактно [9]. Также определение производной основано на понятии предела, которому в школьном курсе уделено недостаточное количество времени. И, наконец, при определении производной используется еще множество других новых для учеников понятий (предел отношения, приращение аргумента, приращение функции и т.д.). Всё это осложняет процесс освоения данного элемента математического анализа. Тем не менее, производная является одним из самых наглядных примеров применения математики в жизни. Она используется при решении практических задач, связанных с описанием законов физических явлений (колебания температуры, охлаждение веществ, электродинамика и многое другое), экономических процессов, построением и исследованием графиков функций и т.д. Согласно Федеральному государственному образовательному стандарту среднего общего образования (ФГОС СОО) предметные результаты освоения базового курса математики включают сформированность представлений об основных понятиях, идеях и методах математического анализа, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей [23]. Перед учащимися 10-11 классов стоит задача успешно сдать единый государственный экзамен, в котором, в частности, присутствуют задания на исследование функций с помощью производной, применение её физического и геометрического смыслов [20]. Результаты единого государственного экзамена ежегодно показывают недостаточное усвоение материала по теме «Производная», в особенности отмечается несформированность понимания геометрического смысла производной. Учитывая всё вышесказанное, можно сделать вывод об актуальности рассмотрения темы «Производная и её применение при решении различных задач». Перед педагогом стоит важная задача: сохранить преемственность между уровнями образованиями, сделать так, чтобы учащийся пришел в вуз с базовыми знаниями математического анализа, помочь ему понять основные принципы данного курса, визуализировать понятие производной. Объект исследования: производная. Предмет исследования: методика преподавания темы «Производная». Целью курсовой работы является комплекс методических материалов для преподавания темы «Производная и её применение при решении различных задач» в школьном курсе математики. Задачи: изучить необходимую литературу по данной теме; провести сравнительный анализ школьных учебников по содержанию темы «Производная»; провести логико-математический анализ основных понятий, утверждений и задач данной темы; привести примеры практических задач, для решения которых используется производная; привести примеры применения производной для исследования функций. Прежде чем приступить к изучению производной следует повторить с обучающимися все вопросы, касающиеся элементарных, линейных функций, отработать понятия приращения функции и аргумента, выяснить геометрический смысл приращения функции к приращению аргумента, а также сформировать понятие касательной к кривой как предельного положения секущей. Анализ базисной программы школы по математике по теме «Производная» позволяет выделить в качестве основных следующие практические умения: вычислять производные; находить экстремумы функции; находить промежутки возрастания и убывания функций; исследовать функции с помощью производной и строить их графики; находить наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке; решать текстовые задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений. Главная цель, стоящая перед учителем, – показать целесообразность изучения темы «Производная», её значимость. Практическая значимость данной курсовой работы заключается в возможности использования разработанного материала учителями математики общеобразовательной школы, а также преподавателями вузов для первых курсов технических и математических направленностей.
Анализ школьных учебников по теме «Производная»
Проведем сравнительный анализ школьных учебников для 10-11 класса следующих авторов: Мордкович А.Г., Колмогоров А.Н., Никольский С.М., Колягин Ю.М. Для сравнения опишем следующие категории: место введения понятия производной; математические понятия, ...
Логико-математический анализ основных понятий
Введению производной функции предшествует введение понятия предела последовательности. Необходимо отметить, что при изучении названного понятия возникает целый ряд трудностей, в том числе и методических: ограниченность времени; сложная для понимани...
Открыть главуЛогико-математический анализ утверждений
Логико-математический анализ структуры любого утверждения подразумевает: определение условий и заключения высказывания; определение вида суждения: простое, сложное [14]; установление формы формулировки. Отметим, что утверждение, истинность которого д...
Открыть главуПрименение производной для исследования функций
При изучении темы применения производной нужно начать с детальной актуализации опорных знаний, чтобы детям было просто понимать теоремы о признаке возрастания и убывания функции. Сформулировав эти теоремы, необходимо составить алгоритм отыскания про...
Заключение
Понятие «производная» в школьном курсе занимает особое место. С помощью неё учащиеся исследуют графики функций, строят различные графики, находят наименьшие и наибольшие значения функций, а также решают задачи на физический смысл производной [25]. Целью курсовой работы являлся комплекс методических материалов для преподавания темы «Производная и её применение при решении различных задач» в школьном курсе математики. Для её достижения была изучена различная учебная, методическая и научная литература, проведен анализ учебных пособий на выявление содержательной линии данной темы, также проанализированы основные понятия и утверждения, необходимые для изучения производной, и приведены примеры задач с их анализом. В первой главе содержится анализ учебников четырех различных авторов. Сравнив содержание и наполненность темы «Производная» в каждом из них, я отдаю предпочтение Мордковичу А.Г., так как в его пособии не содержится ничего лишнего, отведено достаточное количество часов, а главное материал изложен на доступном, понятном языке в логической последовательности. Также данная глава содержит логико-математический анализ понятий и утверждений по теме «Производная». Определение производной, которое дается в школе, в точности соответствует формальному определению, принятому в математике. При первом знакомстве с ним нельзя допускать, чтобы понятия предела функции, приращения аргумента и приращения функции появились впервые при введении производной. Здесь отмеченные понятия не цель, а средство для изучения производной. После того как это будет отработано, можно переходить к рассмотрению физического и геометрического смысла производной [3]. Вторая глава представляет из себя комплекс задач на применение производной с их анализом. Данный элемент математического анализа находит широкое применение практически во всех областях знаний. В математике под производной понимается величина, с помощью которой можно охарактеризовать поведение функции, а именно, скорость ее изменения по отношению к изменению независимой переменной. Под геометрическим смыслом производной понимают характеристику крутизны кривой, являющейся графиком функции. В физике производная широко применяется во всех разделах, и, как правило, характеризует скорость изменения одной физической величины в зависимости от другой. Так, ускорение в механике является производной скорости, т.е. характеризует быстроту изменение скорости во времени. В электричестве, ток, протекающий по проводнику, является производной заряда. В химии, с помощью производной можно охарактеризовать скорость химической реакции, а именно понять, как быстро меняется концентрация того или иного вещества во время протекания реакции. В биологии, именно с помощью производной характеризуется средняя производительность жизнедеятельности популяции [8]. При изучении темы «Производная» на уроке у учителей есть возможность показать метапредметные связи математики с химией, географией, экономикой, биологией, физикой. Так как учащиеся очень часто задаются вопросами: зачем им математика, как она пригодится им в дальнейшем, как знания производной помогут им в повседневной жизни? Найти ответы на эти вопросы, а также показать ученикам связь математики с их будущей профессией помогут задачи прикладного характера связанные с применением производной [4]. В методике преподавания темы «производная» важно подходить к объяснению материала творчески. Предлагается для этого использовать интерактивные элементы и конкретные примеры, имеющие узкую направленность [10]. Данная тема курсовой работы является значимой для совершенствования методики обучения производной, так как эта тема до сих пор является одной из самых сложных для учащихся.
Список литературы
Агаханов С.А., Амиралиев А.Д., Гаджиагаев Ш.С., Рагимханова Г.С. Применение производной при доказательстве тождеств и неравенств. / Современные проблемы науки и образования. Пенза: Изд-во «Академия Естествознания», 2014. – № 6. Алейникова Н.Ю. К вопросу об изучении темы «Производная» в курсе алгебры и начал математического анализа. / Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Елец: Изд-во ЕГУ им. И.А. Бунина, 2016. – С. 204-207. Андрухив Л.В. Методические особенности изучения элементов математического анализа в школьном курсе математики. / Обучение и воспитание: методика и практика 2016/2017 учебного года. Новосибирск: Изд-во «Центр развития научного сотрудничества», 2017. – С. 67-71. Батолина Ю.В. Производная как фактор развития математической грамотности на уроках математики. / Студенческая наука и XXI век. Йошкар-Ола: Изд-во МГУ, 2017. – С. 204-205. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1992. – 351 с. Гурьянова К.Н. Математический анализ: [учеб. пособие] / К.Н. Гурьянова, У.А. Алексеева, В.В. Бояршинов ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Урал. федер ун-т. – Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2014. – 330 с. Демченкова Н.А. Исследовательские задания по теме «Производная» для учащихся старшей школы. / Математика и математическое образование. Тольятти: Изд-во ТГУ, 2019. – С. 213-219. Дубровская Е. И. Некоторые вопросы преподавания темы «Производная» и ее применение при изучении предметов естественнонаучной направленности в общеобразовательной школе. / Научные исследование в современном мире: теория, методология, практика. Уфа: Изд-во «Вестник науки», 2019. – С. 91-97. Дубровская Е.И. Изучение приложений производной в курсе алгебры и начал анализа общеобразовательной школы. / Наука и образование в XXI веке: теория, методология, практика. Уфа: Издательство «Вестник науки», 2019. – С. 105-111. Дубровская Е.И. Методологическое изучение производной в курсе алгебры и начал анализа общеобразовательной школы. / Математика и математическое образование. Тольятти: Изд-во ТГУ, 2019. – С. 87-92. Капкаева Л.С. Теория и методика обучения математике: частная методика. В 2 ч. Часть 2 : учеб. пособие для вузов / Л. С. Капкаева . — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2017. — 191 с. Колмогоров А. Н. Алгебра и начала математического анализа : учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / [А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.]; под ред. А.Н. Колмогорова. – 17-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 384 с. : ил. Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова, М.И. Шабунин]; под ред. А.Б. Жижченко. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 2010. – 336 с. Лященко, Е.И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. институтов / Е.И. Лященко.-М.: Просвещение, 1988.– 223 с. Методика изучения производной [Электронный ресурс]: https://poisk-ru.ru/s28554t6.html Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 6-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 424 с. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А.Г. Мордкович и др.] под ред. А.Г. Мордковича. – 6-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 343 с. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович. – 10-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 399 с. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 239 с. Морозова А.В. Методические особенности изучения производной в профильной школе. / Вопросы математики, её истории и методики преподавания в учебно-исследовательских работах. Пермь: Изд-во ФГБОУ ВПО «ПГГПУ», 2019. – С. 52-53. Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин]. – 8-е изд. – М. : Просвещение, 2009. – 464 с. Пинчук И.А., Тимошенкова Н.И. Методические рекомендации изучения производной в старших математических классах. / Проблемы современной науки и образования. Иваново: Изд-во Олимп, 2015. – № 4 (34). – С. 6-7. Федеральный государственный образовательный стандарт [Электронный ресурс] : https://fgos.ru/ Хмара И.С. Методические материалы для повторения по теме «Производная и её применение» / Молодёжь третьего тысячелетия. Омск: Изд-во ОГУ им. Ф.М. Достоевского, 2018. – С. 195-200. Чеховская С.С. Изучение темы «Производная» в средней школе с использованием физического материала. / Фундаментальные и прикладные научные исследования: актуальные вопросы, достижения и инновации. – Пенза : Издательство «Наука и просвещение», 2018. – С. 22-24. Шувалова Т.В., Хлебникова М.Ю. Решение задач с экономическим содержанием с применением производной. / Традиции и инновации в строительстве и архитектуре. Естественные науки и техносферная безопасность. Самара: Изд-во СГАСУ, 2017. – С. 56-59.
