Логико-математический анализ основных понятий

Введению производной функции предшествует введение понятия предела последовательности. Необходимо отметить, что при изучении названного понятия возникает целый ряд трудностей, в том числе и методических:
ограниченность времени;
сложная для понимания связь между понятием предела и понятием бесконечности;
сложное для восприятия определение предела (рассматривается неравенство с модулем, которое должно выполняться при всех n, больших некоторого числа N, и для любого бесконечно малого значения ε0);
отсутствие пропедевтики;
изолированность темы от других тем школьного курса математики;
недостаточность методической разработанности темы [2].
Основными понятиями при изучении темы «Производная» являются:
предел последовательности;
предел функции;
приращение аргумента;
приращение функции;
непрерывность функции;
производная;
дифференцирование.
Рассмотрим логико-математический анализ представленных понятий. Процедуры, позволяющие раскрыть суть определения объекта, следующие: выбирается ближний родовой объект (если существует), затем на него накладываются ограничения и видовые отличия (характеристики), далее выявляется способ создания определения. Существуют следующие способы соединения основных характеристик объекта:
конъюнкция – это сложное высказывание с соединительным союзом «и»;
дизъюнкция – сложное высказывание с разделительным союзом «или»;
импликация – сложное высказывание с относительным союзом «если…, то…».
Определение 1. Колягин Ю.М. дает следующие определение предела последовательности: «Число a называется пределом последовательности {xn}, если для каждого ε0 существует такой номер N(ε), что для всех nN(ε) выполняется неравенство xn-aε» [13].
Термин: предел последовательности

.
Видовое отличие: обозначается limn→∞xn=a.
Так как присутствуют союзы «если…, то…», т.е. одно высказывание вытекает из другого, то данное определение импликативное.
Геометрическая интерпретация
Интервал (x0-ε; x0+ε) называют ε- окрестностью точки x0.
Определение последовательности означает, что если {xn}→a, то в любой ε- окрестностью точки a находятся все члены последовательности {xn}, за исключением, может быть, конечного их числа [6].
Если предел существует, то последовательность называется сходящейся, если не существует – расходящейся.
Определение 2. Число А называется пределом функции f(x) в точке a (при x, стремящемся к a), если для любого ε0 найдется число δ0, такое, что для всех x, удовлетворяющих условию 0x-aδ, выполняется неравенство fx-Aε [13].
Термин: предел функции. Видовое отличие: limx→af(x)=A. Способ построения определения: импликация.
Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если limx→af(x)=f(a) [13].
Термин: непрерывность функции в точке. Видовое отличие: limx→af(x)=f(a). Способ построения определения: конъюнкция, так как функция является непрерывной в точке, если выполнены условия:
функция определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку);
существует limx→af(x)=A;
A=f(a).
Определение 4. Мордкович А.Г. дает следующее определение приращения аргумента и приращения функции: «Пусть функция y=f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x1-x0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к x1), а разность f(x1)-f(x0) называют приращением функции» [18].
Термины: приращение аргумента, приращение функции. Видовое отличие: приращение аргумента обозначают ∆x, приращение функции – ∆f, где ∆x=x1-x0, ∆f=f(x0+∆x)-f(x0)