Интегрирующий множитель
Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам,а также
промокод
на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.
Введение
Многие технологические процессы и процессы, происходящие в природе, описываются уравнениями, связывающие некоторые неизвестные функции и их производные. Такие уравнения называются дифференциальными (ДУ). Например, в дифференциальной форме (т.е. в виде дифференциальных уравнений) можно записать законы неравномерного движения, радиоактивного распада, второй закон Ньютона, скорость химических процессов, взаимосвязь между функциями спроса, эластичности и предложения в экономике, закон размножения бактерий с течением времени, роста клеток организмов и прочие процессы окружающего мира. Таким образом, дифференциальные уравнения являются важнейшим инструментом для решения практических задач в различных сферах жизнедеятельности человека. Простейшие дифференциальные уравнения – уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, к которым в ходе замены переменных, применяя различные преобразования, сводятся все известные типы уравнений первого порядка. А большинство уравнений более высоких порядков сводятся к уравнениям первого порядка. Поэтому основой теории дифференциальных уравнений является раздел «Дифференциальные уравнения первого порядка». Как известно, дифференциальные уравнения первого порядка делятся на виды: с разделяющимися переменными, однородные, линейные однородные и линейные неоднородные, в полных дифференциалах и сводящиеся к ним, Бернулли, Риккати, Якоби, Клеро. В зависимости от вида ДУ, используются различные методы их решения. Как будет показано во второй главе, большинство ДУ уравнений можно решить с помощью введения интегрирующего множителя, правда такой метод не всегда себя оправдывает (иной раз усложняет решение ДУ, к примеру, уравнения с разделяющимися переменными простым интегрированием решаются гораздо проще), но является практически универсальным. Целью курсовой работы является изучение решения дифференциальных уравнений при помощи интегрирующего множителя. Для достижения поставленной цели предполагается решить ряд задач: - изучить основные понятия теории дифференциальных уравнений и их типы; - рассмотреть уравнения в полных дифференциалах; - изучить понятие интегрирующего множителя, его виды; - показать на примерах методы решения уравнений в полных дифференциалах и решения ДУ с помощью интегрирующего множителя; - рассмотреть простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя; - изучить целесообразность применения интегрирующего множителя для решения различных типов ДУ первого порядка. Объект данной курсовой работы – дифференциальные уравнения первого порядка. Предмет исследования – понятие интегрирующего множителя и его применение при решении ДУ первого порядка. Данная курсовая работа состоит из введения, двух глав и заключения. Первая глава содержит общие сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, а так же теоретические сведения об уравнениях в полных дифференциалах (общий вид, его признак и рассматривается на примерах нахождение общего интеграла). Во второй главе подробно рассматриваются виды интегрирующего множителя, алгоритмы его нахождения и применение для решении ДУ различных типов.
Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений и их классификация
Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) – называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=yx от этой переменной и ее производные до n-го порядка включительно [1]: fx, y,y',y'',…yn=0. (1) Порядком дифференциального...
Открыть главуДифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Признак уравнения в полных дифференциалах
Уравнение вида: Px,ydx+Qx,ydy=0 (7) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции fx,y, т. е. если Px,ydx+Qx,ydy=dfx,y. (8) Очевидно, что общий интеграл уравнения в полных диффере...
Открыть главуНахождение общего интеграла
Существует несколько методов нахождения общего интеграла уравнений в полных дифференциалах. Рассмотрим алгоритмы решения ДУ в полных дифференциалах на примерах. 1. Метод последовательно интегрирования. Найдем общий интеграл дифференциального уравнени...
Открыть главуПонятие интегрирующего множителя, его виды и свойства
∂P∂y=∂Q∂x не выполняется. Уравнение (14) не является уравнением в полных дифференциалах. Но в некоторых случаях удается подобрать функцию μx,y, после умножения на которую левая часть уравнения (14) становится полным дифференциалом. Такая функция назы...
Применение метода интегрирующего множителя для некоторых видов ДУ первого порядка
Использование метода интегрирующего множителя для решения уравнений с разделяющимися переменными не всегда оправдано. Решим, к примеру, следующее ДУ двумя способами: y1+lny+xy'=0. 1) Разделим переменные и проинтегрируем обе части ДУ: y1+lny+xdydx=0⇒d...
Открыть главуЗаключение
Теория дифференциальных уравнений нашла прикладное применение в различных сферах. ДУ представляет собой быстро развивающийся раздел математики, тесно связанный с другими ее областями и имеют практическое применение. Уравнение в полных дифференциалах является одним из часто встречающихся дифференциальных уравнений. Данные уравнения всегда интегрируется в квадратурах. И к данному типу уравнений можно свести и большинство ДУ первого порядка, умножая обе части на интегрирующий множитель. Вот только не всегда такой способ решения того или иного уравнения оказывается рациональным. В данной курсовой работе на примерах рассмотрены решения разных видов ДУ «традиционными» методами и с применением интегрирующего множителя; так же изучены простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя: - случай интегрирующего множителя, зависящего только от x; - случай интегрирующего множителя, зависящего только от y; - случай интегрирующего множителя вида μzx;y; - универсальный способ нахождения интегрирующего множителя. Так же в курсовой работе изучены свойства интегрирующего множителя и нахождение с его помощью особых решений ДУ. Было доказано, что при соблюдении условий, гарантирующих существование общего интеграла ДУ, существует и интегрирующий множитель; общий интеграл имеет бесчисленное множество интегрирующих множителей. Это свойство «неединственности» интегрирующего множителя и наличия зависимости между интегралами одного и того же уравнения имеют место и для всякого уравнения, у которого обеспечено существование общего интеграла (теорема о не единственности интегрирующего множителя). Таким образом, поставленные задачи решены и достигнута цель работы.
Список литературы
1. Дифференциальные уравнения: учеб. Пособие/ Б. П. Демидович, В. П. Моденов. – 3-е изд., стер. – СПб.: Изд-во «Лань», 2008. – 288 с. 2. Дифференциальные уравнения. Методы решений: учеб. пособие / В. М. Ипатова, О. А. Пыркова, В. Н. Седов. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: МФТИ, 2012. – 140 с. 3. Петровский И.Г. Лекции то теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 204 с. 4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегрально исчисления. М.: Наука.Т.2, 1985. – 560 с. 5. Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения. М.: Высшая школа, 2005. – 671 с. 6. Сборник задач по высшей математике/ Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, - Т.2 - М.: ГОСТЕХИЗДАТ, 1949. – 223 с. 7. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – Изд. 8-е – Физматгиз, 1959. – 468 с. 8. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений: учеб. – Изд. 4-е. – М.: Классический учебник МГУ, 2015. – 240 с. 9. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнение и вариационное исчисление. 434 с. http://ijevanlib.ysu.am/wp-content/uploads/2018/01/Difur_elcholc_2.1.pdf
