Применение метода интегрирующего множителя для некоторых видов ДУ первого порядка
Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам,а также
промокод
на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.
Использование метода интегрирующего множителя для решения уравнений с разделяющимися переменными не всегда оправдано. Решим, к примеру, следующее ДУ двумя способами:
y1+lny+xy'=0.
1) Разделим переменные и проинтегрируем обе части ДУ:
y1+lny+xdydx=0⇒dyy1+lny=-dxx;dlny+11+ln=-dxx
lnlny+1=-lnx+lnC, C=const.
lnlny+1+lnx=lnC;xlny+1=C-общий интеграл.
2) Запишем уравнение в виде:
y1+lnydx+xdy=0.
Проверим выполнение условия ∂Qx,y∂x=∂Px,y∂y
Px,y=y1+lny, Qx,y=x.
∂Qx,y∂x=1, ∂Px,y∂y=1+lny+1=2+lny.
Условие не выполняется.
Найдем интегрирующий множитель, как функцию от y.
dμμ=∂P∂y-∂Q∂x-P=2+lny-1-y1+lny=-lny+1y1+lny=-1y⇒μ=1y.
Умножим исходное ДУ на μ
1+lnydx+xydy=0.
fx;y=1+lnydx=1+lnyx+C.
1+lnyx+C=0- общий интеграл, который совпал с найденным интегралом первым способом.
На мой взгляд, первый способ проще. К тому же, если бы мы ошиблись и μ оказался бы функцией от x, а не от y, решение стало бы длиннее.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение первого порядка y'+pxy=fx, интегрирующий множитель определяется формулой:
μx=epxdx
Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы
. (45)
Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде:
y=μxfxdx+Cμx. (46)
Рассмотрим решение уравнения двумя способами.
xy'-y=x5sinx.
Находим общее решение соответствующего однородного уравнения:
xy'-y=0⇒dyy=dxx⇒lny=lnx+lnC⇒y=Cxx.
Заменяем произвольную постоянную C в этом решении неизвестной функцией Cx=fx.
y'=Cx'x+Cx.
Подставляя y и y' в исходное уравнение, получим:
xCx'x+Cx-Cxx=x5sinx⇒Cx'=x3sinx⇒Cx=x3sinxdx=
=u=x3⇒du=3x2dxsinxdx=dv⇒v=-cosx=-x3cosx+3x2cosxdx=
=u=x2⇒du=2xdxcosxdx=dv⇒v=sinx=-x3cosx+3x2sinx-2xsinxdx=
=u=x⇒du=dxsinxdx=dv⇒v=-cosx=-x3cosx+3x2sinx-
-6-xcosx+cosxdx=-x3cosx+3x2sinx+6xcosx-6sinx+C,
C =const.
Общее решение уравнения примет вид:
y=-x4cosx+3x3sinx+6x2cosx-6xsinx+Cx.
Перепишем исходное уравнение в виде:
y'-yx=x4sinx.
Найдем интегрирующий множитель по формуле (45):
μx=e-dxx=e-lnx=1x.
Общее решение дифференциального уравнения запишем по формуле (46)
y=1xx4sinxdx+C1x=xx3sinxdx+Cx-
пришли к интегралу x3sinxdx, который найден первым способом
50% курсовой работы недоступно для прочтения
Закажи написание курсовой работы по выбранной теме всего за пару кликов. Персональная работа в кратчайшее время!
