Численные эксперименты

Исследование численного алгоритма проводилось на нелинейной модели динамики числа двух взаимодействующих популяций (упрощенная модель Лотки-Вольтерра). Модель описывается системой двух обычных дифференциальных уравнений:
dx1dt = ax1-bx1x2-ax12,
dx1dt = yx1-bx1x2-bx22. (7)
Рис. 1. Траектория решения системы (7) на фазовой плоскости
В модель следующие параметры: a = 0,25, B = 0,01, y = -0,3, a = 0,001, b = 0,002 были. Численное решение было рассчитано для пути с начальными данными: x1 (0) = 50, x2 (0) = 30 в Te-интервал времени[0; 100]. Таким образом, параметры задачи определяются: n = 2, t0 = 0, T = 100, x[0] = 50, x[1] = 30. Траектория на фазовой плоскости (рис.1) показывает поведение решения проблем. Для оценки эффективности метода было рассчитано одновременно 8192 траектории. Исследование алгоритма было проведено для следующих параметров метода:{4; 8; 16; 32; 64; 128; 256}, ке{2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, he [0.00001; 1.0].
Мы вычислили числовую ошибку решения с различными заданными параметрами метода. Диаграммы Зависимостей (Рис.2) глобальная ошибка e найденного числового решения из выбранного шага интеграции h при различных значениях параметра m (от 4 до 256) и константы K = 3 указывают на поведение ошибки метода. Глобальная ошибка E оценивалась как максимальное отклонение числового решения Xj от точного x (т. е.) для всех j = 0,1.. N : E = maxxj |хj- x(tj) (т. е.), здесь N-общее количество вычисленных точек пути решения. В эксперименте мы вычислили значения точного решения с помощью метода Рунге-Кутт-Мерсон порядка 5 шагов, достаточных для получения решения с точностью, необходимой для типа данных float

. Далее в тексте под ошибкой мы подразумеваем глобальную ошибку числового решения, вычисляемую таким образом.
Рис. 2. Графики зависимости погрешности численного решения Е от выбранного шага интегрирования Л для метода Эйлера (1) и метода последовательных приближений при заданных значениях параметров метода К = 3 и различных m : m = 4 (2), m = 16 (3), m = 64 (4), m = 256 (5)
Для сравнения показана схема зависимости ошибок для метода Эйлера (рис. 2). Все графики в логарифмической шкале (- log⁡E показывает порядок ошибок -log h h-порядок шагов интеграции). Везде в экспериментах мы использовали фиксированную длину шага, что не всегда эффективно при решении оды. Однако это позволяет оценить точность и стабильность метода в зависимости от выбранного шага.
Следующие графики показывают поведение ошибки численного решения вблизи границы диапазона конвергенции. Если шаг интеграции превышает предел диапазона конвергенции, ошибка быстро увеличивается. Отметьте это значение для h . Так, для M = 16 значение на границе сходимости h ≈0,12 (- log⁡h * ≈ 0,9), для m = 64 y h ≈ 0,016 (- log⁡H * ≈ 1,8), для m = 256-h * ≈ 0,002 (- log⁡h * ≈ 2,7). Если h ≤ h * ошибка линейно зависит от h. в исследуемой проблеме мы получили зависимость E = 0,05 h в диапазоне конвергенции и E = 0,02m2h2 – 0001mh + 0,001 вне диапазона конвергенции. Из графиков видно, что в области конвергенции метода ошибка решения несколько меньше, чем в методе Эйлера.
Рис