Около правильной треугольной пирамиды описан шар радиуса 3 см

Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.
Пирамида правильная, следовательно, её основание – правильный треугольник, вершина проецируется в центр описанной около основания окружности (точку пересечения высот, медиан, биссектрис), и все ребра равны между собой.
Шар называется описанным около пирамиды, если все вершины пирамиды лежат на поверхности шара.
Центр шара есть точка пересечения перпендикуляра, проведенного через его центр (вписанной и описанной окружностей) и перпендикуляра, проведенного к боковому ребру и проходящего через его середину.
Обозначим пирамиду PАВС . её высоту PО, высоту основания АK.
Отрезок АО - радиус описанной окружности и равен 2/3 высоты АK. (так как в равностороннем треугольнике высоты делят друг друга на пропорции 2:1 начиная от вершины угла). В равностороннем треугольнике ABC
AK=a32;АО=23АК=23∙a32=a33
Рассмотрим прямоугольный треугольник APO ⇒
ctg60°=POAO;⇒PO=AO∙ctg60°=a33∙13=a3
Поскольку центр описанной сферы равноудалён от вершин основания ABC,‍ он лежит на прямой PO.‍ Продолжим высоту PO пирамиды до пересечения с описанной сферой в точке Q.‍ Рассмотрим сечение пирамиды ABCP‍ плоскостью, проходящей через точки A,‍ P‍ и Q.‍ Поскольку PQ —‍ диаметр окружности, радиус которой равен двум радиусам R‍ сферы, PQ = 6 см, треугольник APQ —‍ прямоугольный