Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах интервала. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах интервала

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах интервала .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах интервала

Ответ

-1≤x<1 при x=-1 ряд сходится условно

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

N=1∞xn5n+1
Область сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера
limn→+∞an+1xanx=limn→+∞xn+15(n+1)+1xn5n+1=limn→+∞xn+15n+15(n+1)+1xn=
=limn→+∞xn∙x5n+15n+6xn=limn→+∞x5n+15n+6=xlimn→+∞5n+15n+6=
=xlimn→+∞5n+1n5n+6n=xlimn→+∞5nn+1n5nn+6n=xlimn→+∞5+1n5+6n=x
(При n→+∞: 1n→0;6n→0)
Ряд сходится при x<1=>-1 Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала.1) При x=1
n=1∞15n+1
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом n=1∞1n
Используем предельный признак сравнения
limn→+∞15n+11n=limn→+∞n5n+1=limn→+∞nn5n+1n=limn→+∞15nn+1n=
=limn→+∞15+1n=15≠0
(При n→+∞: 1n→0)
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом n=1∞1n
2) При x=-1
n=1∞(-1)n5n+1
Используем признак Лейбница
n=1∞(-1)n5n+1=-15∙1+1+15∙2+1-15∙3+1+…=-16+111-116+…
Данный ряд является знакочередующимся.
limn→+∞an=15n+1=0
Ряд сходится
Исследуем его на характер сходимости
n=1∞an=n=1∞15n+1
Ряд расходится по доказанному, следовательно, ряд сходится условно
Интервал сходимости степенного ряда
-1≤x<1 при x=-1 ряд сходится условно
Ответ: -1≤x<1 при x=-1 ряд сходится условно

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу